02_Spojité systémy

u(t)

y(t)

vstupní signál

výstupní signál 

𝑈(𝑝) = ℒ 𝑢 𝑡

𝑌(𝑝) = ℒ 𝑦 𝑡

Laplaceova

transformace

𝐹 𝑝 =

𝑌 𝑝

𝑈 𝑝

Operátorový přenos

F(p)

! 𝐹 𝑝 =𝑦 𝑡

𝑢 𝑡

Operátorový přenos – příklad

Určete operátorový přenos uvedeného systému

vstupní signál

výstupní signál

F(p)

y(t)

𝑢 𝑡 = ቊ

∞,

𝑡 = 0

0,

𝑡 ≠ 0

𝑦 𝑡 = ቊ

1,

𝑡 ≥ 0

0,

𝑡 < 0

𝑈 𝑝 = න

0

∞

𝑢 𝑡 𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡 = ⋯ 𝑢 𝑡 𝑗𝑒 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑡𝑘𝑜𝑣ý 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙𝑧 𝛿 𝑡 → 𝑈 𝑝 = 1

𝑌 𝑝 = න

0

∞

𝑦 𝑡 𝑒−𝑝𝑡𝑑𝑡 = ⋯ 𝑦 𝑡 𝑗𝑒 𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑡𝑘𝑜𝑣ý 𝑠𝑘𝑜𝑘 𝜎 𝑡 → 𝑌 𝑝 =

1
𝑝

𝐹 𝑝 =

𝑌 𝑝

𝑈 𝑝

=

ൗ

1

𝑝

1

=

1
𝑝

Operátorový přenos a DFR

Aplikací LT na lineární DFR lze získat polynomiální rovnici s obrazy U(p) a Y(p):

Operátorový přenos je definován jako:

𝑎

2

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2

+ 𝑎

1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡

+ 𝑎

0𝑦 𝑡

= 𝑢(𝑡)

𝑎

2 𝑝

2 𝑌 𝑝 + 𝑎

1 𝑝 𝑌 𝑝 + 𝑎0 𝑌 𝑝

= 𝑈 𝑝

diferenciální rovnice

polynomiální rovnice

* Při uvažování nulových počátečních podmínek

𝐹 𝑝 =

𝑌 𝑝

𝑈 𝑝

LT

Operátorový přenos – příklady

Najděte operátorový přenos uvedených systémů popsaných pomocí DFR:

𝑎1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡

+ 𝑦(𝑡) = 𝑏1

𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡

𝑎1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡

= 𝑢(𝑡)

𝑎1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡

+ 𝑎0𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡)

𝑎2

𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2

+ 𝑎1

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡

+ 𝑎0𝑦 𝑡 = 𝑢(𝑡)

Laplaceova transformace

Laplaceova transformace

Laplaceova transformace

𝐹 𝑝 =

𝑌 𝑝

𝑈 𝑝

=

1

𝑎1𝑝 + 𝑎0

𝐹 𝑝 =

𝑌 𝑝

𝑈 𝑝

=

1

𝑎2𝑝2 + 𝑎1𝑝 + 𝑎0

𝐹 𝑝 =

𝑌 𝑝

𝑈 𝑝

=

1

𝑎1𝑝

𝐹 𝑝 =

𝑌 𝑝

𝑈 𝑝

=

𝑏1𝑝

𝑎1𝑝 + 1

𝐹 𝑝 =

𝑌 𝑝

𝑈 𝑝

systémový pohled 

Operátorový přenos – příklady

Najděte operátorový přenos uvedených systémů popsaných pomocí DFR: