02_Spojité systémy

… za předpokladu nulových počátečních podmínek (tj. pro t<0 - u(t)=0, y(t)=0):

u(t)

y(t)

vstupní signál

výstupní signál 

𝑈 𝑗𝜔 = ℱ 𝑢 𝑡

𝑌(𝑗𝜔) = ℱ 𝑦 𝑡

Fourierova

transformace

𝐹 𝑗𝜔 =

𝑌 𝑗𝜔

𝑈 𝑗𝜔

F(jω)

Frekvenční přenos

Na základě relace mezi Fourierovou a Laplaceovou transformací lze frekvenční přenos snadno získat z 
operátorového přenosu využitím substituce 𝒑 ≈ 𝒋𝝎 : 

Frekvenční přenos je obecně komplexní číslo, které lze zapsat různými způsoby:

𝐹 𝑗𝜔 = 𝑅𝑒 𝐹 𝑗𝜔

+ 𝑗 𝐼𝑚 𝐹 𝑗𝜔

frekvenční charakteristika v komplexní rovině

𝐹 𝑗𝜔 = 𝐹 𝑗𝜔 𝑒𝑗∙𝑎𝑟𝑔 𝐹 𝑗𝜔

frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích

𝐹 𝑗𝜔 =

𝑌 𝑗𝜔

𝑈 𝑗𝜔

=

𝑏

𝑚(𝑗𝜔)

𝑚 + ⋯ + 𝑏

2(𝑗𝜔)

2 + 𝑏

1 (𝑗𝜔) + 𝑏0

𝑎

𝑛(𝑗𝜔)

𝑛 + ⋯ + 𝑎

2(𝑗𝜔)

2 + 𝑎

1 (𝑗𝜔) + 𝑎0

𝐹 𝑝 =

𝑌(𝑝)

𝑈 𝑝

=

𝑏

𝑚𝑝

𝑚 + ⋯ + 𝑏

2𝑝

2 + 𝑏

1𝑝 + 𝑏0

𝑎

𝑛𝑝

𝑛 + ⋯ + 𝑎

2𝑝

2 + 𝑎

1𝑝 + 𝑎0

𝒑 ≈ 𝒋𝝎

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině

jinak také tzv. Nyquistův diagram

Příklad:

ω → ∞

ω → −∞

ω = 0

𝐹 𝑝 =

𝐾

𝑇𝑝 + 1

𝐹 𝑗𝜔 = 𝑅𝑒 𝐹 𝑗𝜔

+ 𝑗 𝐼𝑚 𝐹 𝑗𝜔

𝐹 𝑗𝜔 =

𝐾

𝑇𝑗𝜔 + 1

𝐹 𝑗𝜔 =

𝐾

𝑇2𝜔2 + 1

− 𝑗

𝜔𝐾𝑇

𝑇2𝜔2 + 1

𝑅𝑒 𝐹 𝑗𝜔

𝐼𝑚 𝐹 𝑗𝜔

Frekvenční char. v logaritmických souřadnicích

jinak také tzv. Bodeho diagram

Příklad:

𝐹 𝑝 =

𝐾

𝑇𝑝 + 1

𝐹 𝑗𝜔 =

𝐾

𝑇𝑗𝜔 + 1

𝐹 𝑗𝜔 =

𝐾

𝑇2𝜔2 + 1

𝑒𝑗 (−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑇𝜔 )

𝐹 𝑗𝜔 = 𝐹 𝑗𝜔 𝑒𝑗 𝑎𝑟𝑔 𝐹 𝑗𝜔

𝐹 𝑗𝜔

𝑎𝑟𝑔 𝐹 𝑗𝜔

Frekvenční charakteristiky - příklady

Najděte frekvenční charakteristiky následujícího systému.

𝐹 𝑝 =