02_Spojité systémy

Q1(t) [m3/s]

h(t) [m]

S [m2]

h(t)

V2

Q1(t)

Q2(t) ≈ 𝑎 ∙ ℎ(𝑡)

𝑆 ∙

𝑑ℎ 𝑡

𝑑𝑡

= 𝑄1 𝑡

𝑆 ∙

𝑑ℎ 𝑡

𝑑𝑡

+ 𝑎 ∙ ℎ(𝑡) = 𝑄1 𝑡

Stabilita systému

Jinou definicí stability pro spojité LTI systémy je:

„Lineární systém je stabilní tehdy, jestliže po skončení vstupního signálu u(t) a
skončení přechodového děje se výstup systému y(t) vrátí na původní hodnotu,
kterou měl před začátkem působení vstupního signálu.“

Stabilita systému

Rozkladem operátorového přenosu na parciální zlomky lze psát:

Impulzová charakteristika systému s přenosem 𝐹𝑖 𝑝 =

𝐾𝑖

𝑝−𝑝𝑖

je:

𝐹 𝑝 =

𝑌 𝑝

𝑈 𝑝

=

𝑏

𝑚𝑝

𝑚 + ⋯ + 𝑏

2𝑝

2 + 𝑏

1𝑝 + 𝑏0

𝑎

𝑛𝑝

𝑛 + ⋯ + 𝑎

2𝑝

2 + 𝑎

1𝑝 + 𝑎0

= ෍

𝑖=1

𝑛

𝐾𝑖

𝑝 − 𝑝𝑖

póly

𝑔𝑖 𝑡 = ℒ−1 𝐹𝑖(𝑝) = ℒ−1

𝐾𝑖

𝑝 − 𝑝𝑖

= 𝐾𝑖 𝑒+𝑝𝑖 𝑡

1

2

-1

-2

1

0.5

𝑢 𝑡 = 𝛿(𝑡)

𝑡

u(t)

y(t)=g(t)

vstupní signál

výstupní signál

F(p)

1

2

-1

-2

Ki

𝑔 𝑡

𝑡

a

b

c

Stabilita systému

V důsledku linearity Laplaceovy transformace platí:

𝐹 𝑝 =

𝑌 𝑝

𝑈 𝑝

= ෍

𝑖=1

𝑛

𝐾𝑖

𝑝 − 𝑝𝑖

𝑔 𝑡 = ෍

𝑖=1

𝑛

𝑔𝑖(𝑡) = ෍

𝑖=1

𝑛

𝐾𝑖 𝑒+𝑝𝑖 𝑡

„Lineární systém je stabilní tehdy, jestliže po skončení vstupního signálu u(t) a
skončení přechodového děje se výstup systému y(t) vrátí na původní hodnotu,
kterou měl před začátkem působení vstupního signálu.“

Aby byl systém stabilní, musí jeho póly ležet v levé polorovině komplexní p-roviny.

Pozn.: reálné vs. komplexní póly

Stabilita systému

Stabilitu lze tedy posoudit na základě kořenů (pólů) polynomu jmenovatele operátorového přenosu, 
tzv. charakteristického polynomu

Hledání pólů tak vychází z řešení tzv. charakteristické rovnice:

Počet kořenů (pólů) charakteristického polynomu je roven stupni polynomu n.