03_Diskrétní signály

vzorkujme tento signál vzorkovací frekvencí 𝝎𝑺 (resp. vzorkovací periodou 𝑇𝑆)

Proč ale k aliasingu v daném případě došlo?

FT

−𝝎𝑴𝑨𝑿

+𝝎𝑴𝑨𝑿

Vzorkování a aliasing efekt

Vzorkování matematicky odpovídá násobení signálu f(t) posloupností posunutých Diracových
impulzů i(t)

𝑖 𝑡 = ෍

𝑘=−∞

∞

𝛿(𝑡 − 𝑘𝑇𝑆)

𝑓(𝑡)

𝒇𝑺 𝒕 = 𝒇(𝒕) ∙ 𝒊 𝒕 = 𝒇(𝒕) ∙ ෍

𝒌=−∞

∞

𝜹(𝒕 − 𝒌𝑻𝑺)

Vzorkování a aliasing efekt

Vzorkovaný signál 𝑓𝑆 𝑡 je tedy:

Spektrum signálu 𝑓𝑆 𝑡 je pak:

rozvoj do FŘ

𝒇𝑺 𝒕 = 𝒇(𝒕) ∙ 𝒊 𝒕 = 𝒇(𝒕) ∙ ෍

𝒌=−∞

∞

𝜹(𝒕 − 𝒌𝑻𝑺)

signál i(t) je periodický

𝑖 𝑡 = ෍

𝑚=−∞

∞

1

𝑇𝑠

∙ 𝑒

𝑗𝑚

2𝜋

𝑇𝑠

𝑡

𝑐𝑚

𝑭𝑺 𝝎 = 𝓕 𝒇(𝒕) ∙ 𝒊 𝒕 = 𝓕 𝒇(𝒕) ∙ ෍

𝑚=−∞

∞

1

𝑇𝑠

∙ 𝑒

𝑗𝑚

2𝜋

𝑇𝑠

𝑡

= ⋯ =

𝟏

𝑻𝒔

𝒎=−∞

∞

𝑭(𝝎 − 𝒎𝝎𝒔)

𝜔𝑠

𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛á𝑙𝑢

Fourierova 

transformace

Vzorkování a aliasing efekt

Vzorkováním signálu f(t) se jeho spektrum stane periodické s periodou 𝒎𝝎𝒔

−𝝎𝑴𝑨𝑿

+𝝎𝑴𝑨𝑿

Fourierova transformace

−𝝎𝑴𝑨𝑿

+𝝎𝑴𝑨𝑿

+𝝎𝑺

+𝟐𝝎𝑺

−𝝎𝑺

−𝝎𝑴𝑨𝑿

+𝝎𝑴𝑨𝑿

+𝝎𝑺

−𝝎𝑺

+𝟐𝝎𝑺 +𝟑𝝎𝑺

−𝟐𝝎𝑺

−𝟑𝝎𝑺

nebo

𝝎𝒔 ≥ 𝟐 𝝎𝑴𝑨𝑿

𝝎𝒔 < 𝟐 𝝎𝑴𝑨𝑿

Vzorkovací teorém

Uvedený vztah, tedy

se nazývá vzorkovací teorém (někdy také Shannon - Kotelnikův

teorém).

Jeho význam je následující:

Je-li vzorkovací teorém splněn, nedochází při vzorkování ke ztrátě informace (aliasingu) a z
navzorkovaného signálu lze zpětně rekonstruovat původní spojitý signál.

„Pokud vzorkujeme alespoň dvakrát rychleji než je nejvyšší kmitočet ve 

spektru vzorkovaného signálu potom nedojde ke vzájemnému překrytí spekter 

při jejich součtu a nevzniká tzv. aliasing efekt.“