03_Diskrétní signály
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Diskrétní Fourierova řada (DFŘ)
pro periodické signály
Fourierova transformace diskrétních signálů (DTFT)
pro neperiodické signály
Pozn.:
Pro analýzu neperiodických signálů se dnes však většinou využívá Diskrétní Fourierova transformace(DFT).
dekompozice diskrétního signálu na součet diskrétních harmonických funkcí(sin/cos) o určité amplitudě, frekvenci a fázi
Diskrétní Fourierova řada
Periodický diskrétní signál 𝑓 𝑘 lze rozvinout do diskrétní Fourierovy řady definované (v
komplexním tvaru) jako:
Spektrální složky 𝑐𝑚 jsou obecně komplexní čísla c
m=αm+ jβm , která lze snadno převést na tvar:
, kde
N … základní perioda
k = 0, 1, 2, …, N-1
𝑐𝑚 … spektrální složky
𝑓 𝑘 =
𝑚=0
𝑁−1
𝑐𝑚𝑒
𝑗𝑚
2𝜋
𝑁 𝑘
𝑐𝑚 =
1
𝑁
𝑘=0
𝑁−1
𝑓 𝑘 𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
𝑘
m = 0, 1, 2, …, N-1
𝑐𝑚 = 𝑐𝑚 ∙ 𝑒
𝑗 ∙ arg(𝑐𝑚)
𝑐𝑚
… amplitudové spektrum
arg(𝑐𝑚) … fázové (argumentové) spektrum
Diskrétní Fourierova řada
Příklady …
𝑐𝑚 = 𝛼𝑚 + 𝑗 ∙ 𝛽𝑚
𝑐𝑚
… amplitudové spektrum
arg(𝑐𝑚) … fázové (argumentové) spektrum
𝑓 𝑘 =
𝑚=0
𝑁−1
𝑐𝑚𝑒
𝑗𝑚
2𝜋
𝑁 𝑘
𝑐𝑚 =
1
𝑁
𝑘=0
𝑁−1
𝑓 𝑘 𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁 𝑘
Diskrétní Fourierova řada
Spektrum diskrétního periodického signálu tedy reprezentuje posloupnost koeficientů 𝑐𝑚.
Výpočet koeficientů spektra je omezen na rozsah daný délkou periody N
, kde
N … základní periodam = 0, 1, 2, …, N-1
𝑐𝑚 =
1
𝑁
𝑘=0
𝑁−1
𝑓 𝑘 𝑒
−𝑗𝑚
2𝜋
𝑁
𝑘
Proč?
Analyzovaný signál (posloupnost) 𝑓 𝑘 je periodický s periodou N.
Spektrum je rovněž periodické s periodou N.
Dokázali jsme, že posloupnost 𝑒𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘 je periodická s periodou N.
Diskrétní Fourierova řada
Příklad: Spektrum diskrétního periodického signálu 𝑓 𝑘 = 2sin
2𝜋
10
𝑘
* 1 perioda
𝑐9 = +𝑗