03_Diskrétní signály

𝑐1= −𝑗

= 𝑐−1

Diskrétní Fourierova řada

𝑓 𝑘 = 2sin

2𝜋

10

𝑘

𝑓 𝑡 = 2sin

2𝜋

10

𝑡

DFŘ

FŘ

Diskrétní Fourierova řada

Jednotlivé koeficienty spektra signálu 𝑐𝑚 nesou informaci o velikosti amplitudy (a fáze) dané

frekvenční složky.

Podobně jako v případě spojitých signálů, výkon diskrétního signálu reprezentovaného ve frekvenční
oblasti je:

Reprezentace signálu v diskrétní časové či frekvenční oblasti (užitím DFŘ) je ekvivalentní co do
množství informací o signálu.

𝑃𝑊 = ෍

𝑚=0

𝑁−1

𝑐𝑚 2

𝑃𝑊 =

1

𝑁

𝑘=0

𝑁−1

𝑓 𝑘 2 = ෍

𝑚=0

𝑁−1

𝑐𝑚 2

Parcevalova rovnost 

Fourierova transformace diskrétních signálů

Podobně jako v případě spojité varianty lze i zde zobecnit využití diskrétní FŘ pro možnost analýzy
neperiodických signálů.

Označme: 𝜔 = 𝑚

2𝜋

𝑁

Prodlužováním periody 𝑁 → ∞ je 2𝜋/𝑁 → d𝜔 a nekonečný součet (suma) přechází v integrál.

V důsledku těchto změn lze psát: 𝐹(𝜔) = 𝑁 ∙ 𝑐𝑚

𝑓 𝑘 = ෍

𝑚=0

𝑁−1

𝑐𝑚𝑒

𝑗𝑚

2𝜋

𝑁 𝑘

𝑐𝑚 =

1

𝑁

𝑘=0

𝑁−1

𝑓 𝑘 𝑒

−𝑗𝑚

2𝜋

𝑁 𝑘

𝑓 𝑘 =

1

2𝜋

න

0

2𝜋

𝐹 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑘 𝑑𝜔

𝐹(𝜔) = ෍

𝑘=−∞

∞

𝑓 𝑘 𝑒−𝑗𝜔𝑘

DTFT

DFŘ

spektrum je periodické s periodou 2𝜋

Fourierova transformace diskrétních signálů

Fourierova transformace diskrétních signálů (DTFT) je tedy definována vztahem:

Inverzní Fourierova transformace diskrétních signálů (IDTFT) je pak:

Výsledkem DTFT je spojité frekvenční spektrum 𝐹(𝜔) reprezentující obecně komplexní číslo

𝐹(𝜔) = 𝑅𝑒 𝐹(𝜔) + 𝑗 ∙ 𝐼𝑚 𝐹(𝜔)

𝐹(𝜔)

… amplitudové spektrum 

𝜑 𝜔 = arg(𝐹(𝜔)) … fázové (argumentové) spektrum

𝑓 𝑘 =

1

2𝜋

න

0

2𝜋

𝐹 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑘 𝑑𝜔

𝐹(𝜔) = ෍

𝑘=−∞

∞

𝑓 𝑘 𝑒−𝑗𝜔𝑘

Fourierova transformace diskrétních signálů -
příklad