24) Stereometrie

9i) Truhlář opracovával rotační válec s poloměrem podstavy 2,5 dm a výškou 2 dm.
Rovnoměrným broušením zmenšil poloměr o 1 cm, výška válce byla zachována.
Vypočtěte, o kolik procent se zmenšil obsah pláště válce.
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2013, příklad č. 13
Body: 2 Výsledek: o 4 %

Pracovní tematické zařazení: Stereometrie
Řešení:
povrch válce: S = 2*Sp + Spl = 2 π r2 + 2 π r v … Sp je obsah podstavy, Spl je obsah pláště,
r je poloměr podstavy, v je výška válce
plášť neopracovaného válce … S1 = 2 π r1 v = 2 π * 25 * 20 = 1000 π ( cm2 )
plášť opracovaného válce … S2 = 2 π r2 v = 2 π * 24 * 20 = 960 π ( cm2 )
100 % ( obsah pláště neopracovaného válce – pozor !!!, nikoli opracovaného ) … 1000 π
1 % … 10 π
Kolikrát se 1 % „vejde“ do 960 π ? … 960 π : 10 π = 96 ( procent ) … obsah pláště opracovaného
válce
100 % ( obsah pláště neopracovaného válce ) – 96 % ( obsah pláště opracovaného válce ) = 4 %
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Stereometrie

10i)

Jaký objem má domeček ? A) menší než 38,0 cm

3 B) 38,0 cm3 C) 41,5 cm3

D) 45,0 cm

3 E) vetší než 45,0 cm3

Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2013, příklad č. 23
Body: 2 Výsledek: A ( 36 cm

3 )

Pracovní tematické zařazení: Stereometrie
Řešení:
objem domečku = objem krychle + objem jehlanu
objem krychle … V = a3 … neznáme a
objem jehlanu … V =

… Sp je obsah podstavy, v je tělesová ( nikoli stěnová ) výška

podstavou je čtverec, takže Sp = a

2

V =

= ( a

2 * a ) : 3 = a3 : 3 … neznáme a

vnitřní průměr podstavy plechovky = délka úhlopříčky stěny krychle ( tzv. stěnová úhlopříčka ) =
= 3√2
Pythagorova věta: ( 3√2 ) 2 = a2 + a2 18 = 2a2 9 = a2 a = 3 cm
objem krychle … V = a3 = 33 = 27 ( cm3 )
objem jehlanu … V = a3 : 3 = 33 : 3 = 9 ( cm3 )
objem domečku = objem krychle + objem jehlanu = 27 cm3 + 9 cm3 = 36 cm3
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Stereometrie

11i)

Jak veliká je plocha střechy ?
A) 192

B) 202

C) 320

D) 448

E) 512

Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2014 (1), příklad č. 18
Body: 2 Výsledek: C

Pracovní tematické zařazení: Stereometrie
Řešení:
povrch jehlanu: S = Sp + Spl … Sp je obsah podstavy, Spl je obsah pláště
plocha střechy = obsah pláště jehlanu … plášť jehlanu je zde tvořen čtyřmi shodnými trojúhelníky
( tj. stěnami jehlanu )

obsah trojúhelníka: S =

… neznáme příslušnou výšku

Pozor !!! – hledáme výšku trojúhelníka, čili stěnovou výšku,
nikoli výšku tělesovou
Stěnovou výšku ( kolmice spuštěná z hlavního vrcholu jehlanu na podstavnou hranu jehlanu )
označíme např. s.
Pythagorova věta ( viz obrázek ): s2 = 82 + 62 s2 = 100 s = 10 m