Otázky z matematiky

Takže po úpravě dostaneme rovnici (x + 2)(x – 2)( x2 + 4) = 0. Tato rovnice má čtyři 
kořeny x

1 = 2; x2 = 2i; x3 = –2; x4 = –2i. 

2.  Goniometrické řešení: 

Rovnici převedeme na tvar x4 = 16. Binomická rovnice xn = a má při a ≠ 0 v množině 
všech komplexních čísel právě n kořenů 

n

k

n

k

a

x

n

k

2

sin

i

2

cos

1

, 

kde 

}

1

;...;

2

;

1

;

0

{

n

k

, 

sin

i

cos 

 x

a

. 

Číslo  16  vyjádříme  v goniometrickém  tvaru;  absolutní  hodnota  čísla  je16,  jeho 
argument je 0. Po dosazení dostaneme 

4

2

sin

i

4

2

cos

16

4

1

k

k

x

k

, kde k = 0; 1; 2; 3. 

Odtud: 

i

2

4

6

sin

i

4

6

cos

2

2

4

4

sin

i

4

4

cos

2

i

2

4

2

sin

i

4

2

cos

2

2

4

0

sin

i

4

0

cos

2

4

3

2

1

x

x

x

x

Obrazy  kořenů  v rovině  komplexních  čísel  jsou  vrcholy  pravidelného  čtyřúhelníku 
vepsaného do kružnice se středem v počátku a poloměrem r = 2. 
 
 
 

b) 

Kružnice – analytická geometrie 

Najděte rovnici kružnice, která má střed v bodě S = [0;4] a prochází bodem A = [–3;8]. 

 
Řešení 

Středová rovnice kružnice je  

x

2 + (y – 4)2 = r2. 

Do této rovnice dosadíme souřadnice bodu A a učíme poloměr kružnice: 

r

2 = (–3)2 + (8 – 4)2 = 25. 

Rovnice dané kružnice je tedy 

x

2 + (y – 4)2 = 25. 

9 

a) 

Analytické vyjádření přímky 

Napište  parametrický,  obecný  a  směrnicový  tvar  rovnice  přímky,  která  prochází  body 
A = [1;7] a B = [6;8]. 

 
Řešení 

Body A, B určují vektor 

)

1

;

5

(

)

7

8

;

1

6

(

 AB

s

, který je směrovým vektorem přímky. 

Parametrické rovnice: 

t

y

t

x

7

5

1

 
Vyloučením parametru t získáme obecný tvar x – 5y + 34 = 0. 
 

Vyjádříme z této rovnice y a získáme směrnicový tvar rovnice přímky: 

5

34

5

1 

 x