Otázky z matematiky

10

2

5

3

x

x

. Tato rovnice má 

řešení 

15

x

. 

 
Oba kořeny vyhovují dané rovnici. Obor pravdivosti je {–1; 15}. 

b) 

Kolmost vektorů – analytická geometrie 

Určete  souřadnice  vektoru  u  =  (u

1;u2)  tak,  aby  byl  kolmý  vektoru  v  =  (2;3)  a  měl  stejnou 

velikost. 

 
Řešení 

Jelikož skalární součin musí být roven nule, stačí volit u = (–3;2). 

18 

a) 

Řešení kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel 

Řešte rovnici: 

2x

2 + 2x + 5 = 0 

 
Řešení 

Diskriminant dané rovnice je D = 22 – 4.2.5 = –36. Proto bude mít rovnice dva komplexně 

sdružené kořeny 

2

i

3

1

4

i

6

2

2

,

1

x

b) 

Stereometrie 

– polohové a metrické vlastnosti 

V  kvádru  ABCDEFGH  o  hranách  podstavy  a  =  4  cm,  b  =  6  cm,  c  =  8  cm  vypočítejte 
odchylku přímek AC a AG. 

 
Řešení 

'

58

47

109

,

1

6

4

8

tg

2

2

AC

CG

19 

a) 

Kvadratické nerovnice 

Řešte v oboru reálných čísel: 
 
 

x

2 – 2x – 3 < 0 

 
Řešení 

Rovnici  lze  upravit  na  tvar  (x  –  3)  (x  +  1)  <  0.  Odtud  plyne,  že  nerovnice  je  splněna  pro 

)

3

;

1

(

x

. 

b) 

Vzájemná poloha bodu a přímky 

Určete vzdálenost bodu A = [–6;5] od přímky –x + 2y – 1 = 0. 

 
Řešení 

Pro vzdálenost bodu A[a

1; a2] od přímky p: ax + by + c = 0 platí 

2

2

2

1

)

(

b

a

c

ba

aa

Ap

v

Užitím tohoto vzorce dostaneme 

708

,

6

2

)

1

(

1

5

2

)

6

(

1

)

(

2

2

Ap

v

20 

a) 

Soustavy rovnic o dvou neznámých, z nichž jedna je 
kvadratická 

Řešte soustavu rovnic: 
 

3x – 2y = 7 

x

2 + 3xy + 3y2 – 4x – 2y = 7 

 
Řešení 

Z první  rovnice  vyjádříme  x  a  dosadíme  do  druhé  rovnice.  Po  úpravě  dostaneme 
kvadratickou rovnici