Otázky z matematiky
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Řešení
Rozbor:
Načrtneme trojúhelník ABC s jemu opsanou kružnicí. Z náčrtku je
patrné, že bod C leží na kružnici
cm)
5
,
2
;
(S
k
a současně na kružnici
opsané kolem středu D úsečky AB
cm)
3
;
(
4
c
t
D
k
, tedy
4
k
k
C
.
Abychom sestrojili kružnici trojúhelníku opsanou, je zapotřebí určit
její střed. Z náčrtu je zřejmé, že 1)
)
;
(
cm
5
,
2
1
r
A
k
S
r
AS
,
2)
)
;
(
cm
5
,
2
2
r
B
k
S
r
BS
.
Platí
2
1
k
k
S
Konstrukce:
1.
úsečka AB,
cm
4
AB
2.
kružnice
)
cm
5
,
2
;
(
1
r
A
k
3.
kružnice
)
cm
5
,
2
;
(
2
r
B
k
4.
střed kružnice trojúhelníku opsané
2
1
k
k
S
5.
kružnice trojúhelníku opsaná
cm)
5
,
2
;
(S
k
6.
kružnice se středem v bodě D,
cm)
3
;
(
4
c
t
D
k
7.
vrchol C,
4
k
k
C
8.
trojúhelník ABC
Diskuze: Úloha má čtyři řešení.
b)
Goniometrické funkce ostrého úhlu, řešení pravoúhlého
trojúhelníku Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, je-li dán úhel α = 28° a poloměr kružnice vepsané 2,5 cm.
Řešení
Osa úhlu α půlí úhel a prochází středem vepsané kružnice.
Z pravoúhlého trojúhelníku ADS určíme velikost AD.
cm
10
2
28
cotg
cm
5
,
2
2
cotg
2
cotg
DS
AD
DS
AD
Odvěsna AC trojúhelníka je
cm
5
,
12
cm
5
,
2
cm
10
DC
AD
.
Odvěsna BC trojúhelníka je
cm
65
,
6
28
tg
cm
5
,
12
tg
AC
BC
.
Přepona AB trojúhelníka je
cm
2
,
14
28
cos
cm
5
,
12
cos
AC
AB
.
28
a)
Algebraické výrazy, úprava algebraického výrazu
Upravte výraz:
2
2
2
2
2
2
3
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
Řešení
)
(
)
)(
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
3
2
2
3
4
4
2
2
2
3
2
2
3
2
2
4
4
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
y
x
x
y
x
y
x
y
y
y
x
xy
x
y
x
y
x
y
y
xy
y
x
x
y
x
y
x
y
y
xy
y
x
x
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
za předpokladu x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ ± y.
b)
Mnohoúhelníky, obvod a obsah pravidelných
mnohoúhelníků
Vypočtěte obvod a obsah pravidelného pětiúhelníku, je-li poloměr kružnice pětiúhelníku
opsané 10 cm.