Otázky z matematiky
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Řešení
Z číslic můžeme utvořit P(4) = 4! = 24 různých pořadí. Pořadí s nulou na začátku však
nepředstavuje čtyřmístné číslo. Takových pořadí číslic s nulou na počátku je P(3) = 3 ! = 6.
Proto čtyřmístných čísel, které můžeme vytvořit z číslic 0, 1, 2, 3 je 24 – 6 = 18.
Odpověď
Z číslic 0, 1, 2, 3 můžeme vytvořit 18 čtyřmístných čísel tak, aby se žádná číslice
neopakovala.
14
a)
Rovnice s neznámou v odmocněnci
Řešte v množině reálných čísel rovnici
x
x
2
15
6
Řešení
Nejprve umocníme levou i pravou stranu rovnice
x
x
2
15
6
.
Výraz s neznámou převedeme na levou stranu rovnice
9
3
x
a levou i pravou stranu rovnice vydělíme 3
3
x
.
Poté opět umocníme levou i pravou stranu rovnice a dostaneme
9
x
.
Kořen
9
x
rovnici vyhovuje, o čemž se můžeme přesvědčit zkouškou.
b)
Operace s vektory, skalární součin vektorů
Jsou dány body A = [1;1], B = [2;-1], C = [3;2]. Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku
ABC.
Řešení
Úhly počítáme pomocí skalárního součinu vektorů. Úhel α pomocí vektorů AB a AC a dále
úhel β pomocí vektorů BA a BC nebo γ pomocí vektorů CA a CB . Třetí úhel určíme jako
doplněk do 180°.
90
cos
AC
AB
AC
AB
45
45
15
a)
Logaritmická funkce
Určete všechna reálná čísla x, pro která nabývá funkce
3
4
log
x
y
a
, kde 0< a <1,
nezáporných hodnot.
Řešení
Z průběhu dané logaritmické funkce musí platit:
7
1
3
4
0
x
x
Odpověď
Pro každé reálné číslo
7
x
nabývá funkce nezáporných hodnot.
b)
Polohové vztahy přímek a rovin – analytická geometrie
Je dána rovina 2x + 3y – z – 6 = 0 a přímka x = 1 – t, y = 2 + 2t, z = 4 + 3t, kde