Otázky z matematiky

R

t  . Určete 

vzájemnou  polohu  přímky  a  roviny.  Je-li  přímka  různoběžná  s  rovinou,  určete  také  jejich 
průsečík. 

 
Řešení 

Normálový vektor roviny:   n = (2; 3; –1). 
Směrový vektor přímky: 

s = (–1; 2; 3). 

Jelikož  skalární  součin  vektorů  n  ×  s  =  1,  nejsou  vektory  navzájem  kolmé,  a  proto 

přímka není s rovinou rovnoběžná.  

Do  rovnice  roviny  dosadíme  za  x,  y,  z z parametrického  vyjádření  přímky  a  určíme 

hodnotu  parametru  t  =  2.  Po  dosazení  hodnoty  t  =  2  do  parametrického  vyjádření  přímky 
dostaneme souřadnice průsečíku P = [–1; 6; 10]. 

16 

a)

Goniometrické rovnice 

Řešte rovnici: 

1 + sin x = 3(1 – sin x), 

)

360

;

0

x

 
Řešení 

Rovnici upravíme na tvar 

1 + sin x = 3 – 3sin x 

sin x + 3sin x = 3 – 1 

4sin x = 2 

2

1

sin 

x

. Odtud plyne, že 

 30

x

 nebo 

150

x

. 

b) 

Parabola 

– analytická geometrie 

Napište  rovnici  paraboly,  která  je  souměrná  podle  osy  x  a  má  vrchol  v  počátku,  jestliže 
parabola prochází bodem A = [2;–4]. 

 
Řešení 

Rovnice paraboly je v našem případě y

2 = 2px. Souřadnice bodu A vyhovují této rovnici a po 

dosazení určíme hodnotu parametru p = 4. Rovnice paraboly bude y2 = 8x. 

17 

a) 

Lineární rovnice s absolutní hodnotou 

Řešte rovnici: 

10

2

5

3

x

x

 
Řešení 

1)  Pro 

)

3

5

;

(

x

  je

5

3

)

5

3

(

5

3

x

x

x

  a  rovnice  přejde  na  tvar 

10

2

5

3

x

x

. 

Tato rovnice má řešení 

1

x

. 

2)  Pro 

 ;

3

5

x

 je

5

3

5

3

x

x

 a rovnice přejde na tvar