M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

2.5 Znát definici spojitosti funkce v bodě. Porozumět vztahu mezi existencí

limity a spojitostí funkce v bodě. Umět definovat jednostranné limity, jedno-
strannou spojitost a spojitost na otevřeném či uzavřeném intervalu. Je zde také
uvedena Cauchyova definice limity, kterou však nemusíte znát.

2.6 Znalost vlastností limit nám umožní řešit složitější úlohy na výpočet li-

mit. Pro jejich správné používání je nezbytné znát tzv. neurčité výrazy, které
nejsou definovány. K důležitým tvrzením patří věta o limitě složené funkce a věta
o limitě výrazů typu 1

0 , které se budou využívat při určování asymptot a průběhu

funkce. Vyřešte si autotest a podrobně si zdůvodněte postup výpočtu na základě
teoretických poznatků uvedených v odstavci.

———————————————————————————————————

6

Úvod

1.2

Požadované znalosti

Pro potřeby zvládnutí tohoto modulu předpokládáme znalosti studentů v rozsahu
modulu Matematika I: BA01−M04.

1.3

Doba potřebná ke studiu

Čas potřebný ke zvládnutí tohoto modulu je odhadnut pro průměrného studenta
jako hodnota nejméně 8 hodin.

1.4

Klíčová slova

Posloupnost reálných čísel, limita posloupnosti, algebra limit posloup-
ností, limita funkce, limita složené funkce, spojitost funkce.

Na konci modulu zařazen Rejstřík, ve kterém jsou další klíčová slova přehledně

uspořádána i s odkazy na odpovídající stránky.

1.5

Metodický návod k práci s textem

Text je uspořádán podle stejných zásad, jako ostatní dříve studované moduly
předmětu Matematika.

———————————————————————————————————

Kapitola 2

Limita a spojitost funkce

2.1

Posloupnost reálných čísel

Posloupnosti patří k nejzákladnějším pojmům matematické analýzy. Využívají se
například při definování: limity funkce, součtu nekonečné číselné řady, různých
typů integrálů, v numerické matematice a podobně. Jak již víte ze střední školy,
posloupností reálných čísel (dále jen posloupností), rozumíme funkci f : N → R
(též píšeme f : n 7→ an, n ∈ N), jejímž definičním oborem je množina N přiro-
zených čísel a oborem hodnot je podmnožina reálných čísel R. Funkční hodnotu
f (n) značíme obvykle an a nazýváme ji n–tým členem posloupnosti. Samotnou
posloupnost pak označujeme symbolem (an)∞