M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

———————————————————————————————————

2.2 Limita posloupnosti

9

Příklad 2.1.2: Zjistěte, zda posloupnost (an) =

³

2+n2

n2

´

bodu 5. tabulky je

klesající posloupností.

Řešení: Potřebujeme porovnat n–tý člen posloupnosti an = 2+n

2

n2

= 1 + 2

n2

s (n + 1)–ním členem posloupnosti an+1 = 1 +

2

(n+1)2 . Pro každé n ∈ N platí

an+1 = 1 +

2

(n + 1)2

< 1 +

2

n2

= an ,

a proto je posloupnost posloupností klesající.

Příklad 2.1.3: Zjistěte, zda posloupnost (an) =

³

n −

1+(−1)n

2

´

bodu 6. tabulky

je neklesající posloupností.

2.2

Limita posloupnosti

√√

Komentář 2.2.1:

Uvažujme nyní například posloupnost (an) =

¡

2n−1

n

¢

. Všimněte si toho,

že an = 2 − 1

n a že s rostoucím n se an „neomezeněÿ přibližuje k číslu 2,

tj. |an − 2| se blíží k nule. To lze potvrdit například tak, že zvolíme-li si
libovolně malé kladné číslo ε např. ε = 0.001, pak pro všechny členy an
posloupnosti, kde n > 1000, platí |an −2| = |2− 1

n − 2| =

1

n < 0.001. Je pak

přirozené říci, že posloupnost

¡

2n−1

n

¢

má limitu rovnou dvěma. Píšeme

limn→∞ an = 2 nebo lim an = 2 nebo an −→ 2 pro n → ∞. Dostáváme se
tak k definici limity posloupnosti.

Definice 2.2.1: Říkáme, že posloupnost (an) má limitu a ∈ R, jestliže ke kaž-
dému ε ∈ R, ε > 0, existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ∈ N, n ≥ n0 platí
|an − a| < ε.
Říkáme, že posloupnost (an) má limitu ∞ (event. −∞), jestliže ke každému h ∈ R
existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ∈ N, n ≥ n0 platí an > h (event. an < h).
Posloupnost, která

má vlastní limitu, se nazývá konvergentní,
má nevlastní limitu, se nazývá divergentní,
limitu nemá, se nazývá oscilující.