M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

14

Limita a spojitost funkce

celočíselných násobků čísla π.) Pokud by číslo 1.5 mělo být limitou funkce g v nule,
pak by zřejmě mělo platit, že když si zvolíme libovolnou jinou posloupnost čísel
(x0

n) konvergující k nule, x

0

n 6= 0 pro všechna n ∈ N, pak odpovídající posloupnosti

funkčních hodnot budou opět konvergovat k číslu 1.5 . To tedy znamená, že limita
funkce g v nule (pokud existuje) nesmí záviset na volbě posloupnosti (xn) → 0,
xn 6= 0. Zvolme si proto ještě například posloupnost (x0n)∞

n=1 = (

1
3 ,

1

11 ,

1

19 , . . .) =

( 1

8k−5 ), která má také limitu rovnou nule a přitom x

0

n 6= 0 pro všechna n ∈ N.

Dostaneme tyto tabulky:

x0

n

1/3

1/11

. . .

1/155

1/787

g(x0

n)

2.3361116 1.538330912 . . .

1.500187333 1.500007266

x0

n

1/3 1/11 . . .

1/155 1/787

h(x0

n)

-1

-1

. . .

-1

-1

Z tabulek pro funkci h už můžeme prohlásit, že funkce h nemá v nule limitu,

protože jsme našli dvě různé posloupnosti (xn), (x0n) konvergující k nule, pro které

odpovídající posloupnosti h(xn), h(x0n) konvergují k různým číslům.

Druhá tabulka pro funkci g zatím potvrzuje naši domněnku, že funkce g by

mohla mít v nule limitu rovnu číslu 1.5 . Je ale jasné, že po vyzkoušení dvou po-
sloupností to ještě tvrdit nemůžeme. Pro ilustraci uvádíme přibližné grafy funkcí
g, h.

-

x

6

y

b

1

1
2

1
3

1
4

f

-

x

6

y

π

6

.

= 0.5

−π

6

1.5

g

———————————————————————————————————

2.4 Definice limity funkce

15

Cvičení 2.3.1:

1. Jaký vliv na naše úvahy o limitě funkce g v bodě nula by mělo následující
dodefinování funkce g v nule, jestliže a) g(0) = 7, b) g(0) = 1.5?

2. Vytvořením tabulek funkčních hodnot odhadněte, zda a případně jakou
limitu mají funkce g : y = sin 2x+2