M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
———————————————————————————————————
16
Limita a spojitost funkce
-
x
6
y
`a
f (x0)
x0
b
b
f
x0 ∈ R, b ∈ R, limx→x
0 f (x) = b
-x
6
y
x0
f
x0 ∈ R, b ∈ R∗, b = +∞
limx→x
0 f (x) = ∞
-
x
6
y
b
f
x0 = ∞, b ∈ R, limx→∞ f(x) = b
-x
6
y
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡
f
x0 = ∞, b = +∞
limx→∞ f(x) = ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ještě si ukážeme grafy funkcí, které v uvedených bodech nemají limitu.
-x
6
y
a
l
`a
k
x0
f
a)
-
x
6
y
x0 → ∞
g
1
−1
b)
-
x
6
y
x0
c)
h
Funkce f, g, h nemají v bodě x0 limitu, neboť jistě například existují posloup-
nosti (xn), (x0n), xn → x0, xn 6= x0, x0n → x0, x0n 6= x0 s následujícími vlastnostmi
———————————————————————————————————
2.5 Spojitost funkce
17
• a) f (xn) → k, f(x0n) → l pro funkci f
• b) f (xn) → 0, f(x0n) → 1 pro funkci g
• c) f (xn) → −∞, f(x0n) → +∞ pro funkci h
Cvičení 2.4.1:
Graficky znázorněte další typy limit funkcí:
a) limx→x
0 f (x) = −∞,
x0 ∈ R
b) limx→−∞ f(x) = b,
b ∈ R
c) limx→−∞ f(x) = +∞.
Nyní si ukážeme, jak je možné pro výpočet limit funkcí využívat vlastností
limit posloupností.
Příklad 2.4.1: Užitím Heineho definice limity vypočítejte limx→3 4x
2−1
2x−1 .
Řešení: Místo konkrétních posloupností konvergujících k číslu 3 uvažujeme
obecně libovolnou posloupnost (xn) konvergující k číslu 3 (xn 6= 3). Z vlastností
limit posloupností víme, že jestli xn → 3, pak 4x2n − 1 → 4 · 9 − 1 = 35. Podobně