M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

-

x

6

y

Vidíme, že tato funkce nemá v nule limitu. Zvolíme-li totiž

posloupnost kladných čísel (xn), jejíž limita je nula, pak f(xn) má limitu +∞.
Má-li posloupnost (x0

n) samá záporná čísla konvergující k nule, pak f (x

0

n) má

limitu rovnu −∞. Těmito úvahami se dostáváme k tzv. jednostranným limitám.

———————————————————————————————————

2.5 Spojitost funkce

19

Definice 2.5.2: Číslo b ∈ R∗ se nazývá limitou zprava (pravostrannou
limitou) funkce f v bodě x0 ∈ R, jestliže

1) funkce f je definovaná v nějakém okolí P+(x0),
2) pro každou posloupnost (xn) ⊂ P+(x0), (xn) → x0, platí limn→∞ f(xn) = b.

Pak píšeme b = limx→x

0+ f (x) = f (x0+).

4

Poznámka: Pro nevlastní body jednostranné limity nezavádíme.

Cvičení 2.5.1:

1. Zformulujte si sami analogickou definici limity zleva funkce f v čísle x0.

2. Zapište matematicky čemu se rovnají limity zleva a zprava funkce f v čísle

x0 = 1 prvního, x0 = 2 druhého obrázku.

-

x

6

y

1

1

3

-

x

6

y

2

4

3. Na základě grafů funkcí určete limity

a) limx→0

+ log

7 x,

b) limx→0

+ log

0.7 x,

c) limx→π

2 +

tg x,

d) limx→π

2 −

tg x,

e) limx→7π

+ cotg x,

f ) limx→7π

− cotg x,

g) limx→1

− arcsin x,

h) limx→1

− arccos x.

Poznámky:

1. Pomocí limity zprava definujeme spojitost zprava funkce
f v bodě x0, tj., požadujeme, aby funkce f byla definovaná
v U+(x0) a aby platilo limx→x

0+ f (x) = f (x0). Analogicky de-

finujeme spojitost zleva.

-

x

6

y

x0

f (x0)

-

x

6

y

x0

f (x0)

———————————————————————————————————

20

Limita a spojitost funkce

2. Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu
(c, d) ⊆ D(F ), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Spo-
jitostí funkce f na uzavřeném intervalu hc, di ⊆ D(f ) budeme
rozumět spojitost funkce f v intervalu (c, d) a současně spojitost
funkce f zprava v bodě c a zleva v bodě d.