M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

2 , δ), tj. x ∈ (

1

2 − δ,

1

2 + δ) − {

1

2 },

tedy 0 < |x − 1

2 | < δ. Graficky lze situaci znázornit takto:

———————————————————————————————————

2.6 Základní vlastnosti limity funkce

21

-

x

6

y

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

b¡

¡

¡

2

2 + ε

2 − ε

1

2

1

2 − δ

1

2 + δ

Kdybychom si například zvolili ε = 0.01, pak pro to, aby platila nerovnice |f (x) − 2| <
0.01, stačí vzít taková x, pro která platí x 6= 1

2 a

¯

¯

¯ 4x

2−1

2x−1 − 2

¯

¯

¯ < 0.01, tj. |2x+1−2| < 0.01.

Odtud 2|x− 1

2 | < 0.01 a tedy |x−

1

2 | < 0.005 = ε/2. Stačí tedy za δ zvolit libovolné číslo,

pro které platí 0 < δ ≤ ε/2 (například δ = 0.0025). Domníváme se však, že Heineova
definice je pro studenty technických fakult názornější a přístupnější a proto jsme jí dali
přednost.

2.6

Základní vlastnosti limity funkce

V následujícím přehledu základních vlastností limit budeme stále předpokládat,
že uvedené funkce jsou definovány v potřebném prstencovém okolí P(x0)
uvažovaného bodu x0.

Věta: (Vlastnosti limit)
Je-li limx→x

0 f (x) = r ∈ R

∗, limx→x

0 g(x) = s ∈ R

∗, x0 ∈ R∗, pak pokud má

pravá strana rovnosti smysl, platí:

a) lim

x→x0

(f (x) + g(x)) = r + s,

b) lim

x→x0

(f (x) · g(x)) = r · s,

c) lim

x→x0

f (x)

g(x)

=

r
s

,

d) lim

x→x0

|f (x)| = |r|.

Pokud x0 ∈ R, platí uvedená tvrzení i pro jednostranné limity.

———————————————————————————————————

22

Limita a spojitost funkce

Jednotlivá tvrzení se lehce dokazují pomocí analogických tvrzení pro po-
sloupnosti, např. pro důkaz tvrzení b) si stačí uvědomit, že pro každou
posloupnost (xn) ⊂ P(x0) ⊂ (D(f) ∩ D(g)), pro kterou limn→∞ xn = x0,
platí limn→∞(f(xn) · g(xn)) = limn→∞ f(xn) · limn→∞ g(xn) = r · s, pokud
je r · s definováno. Protože posloupnost (xn) byla zvolena libovolně, platí
limx→x