M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

2xn − 1 → 2 · 3 − 1 = 5. Celkem

4x2

n − 1

2xn − 1

−→

35

5

= 7.

Vidíme tedy, že pro každou posloupnost (xn) konvergující k číslu 3, odpovídající
posloupnost (f (xn)) konverguje k číslu 7. Proto

lim

x→3

4x2 − 1

2x − 1

= 7.

Cvičení 2.4.2:

Pomocí Heineho definice limity vypočtěte

a) lim

x→3

(x3 − x + 7),

b) lim

x→ 1

3

4x2 − 1

2x − 1

,

c) lim

x→−2

x2 + x + 2

1 − x2

.

2.5

Spojitost funkce

Možná jste si všimli, že ve všech příkladech ve cvičení 2.4.2 se výsledná limita
rovná funkční hodnotě ve studovaném čísle. Dostáváme se tak k dalšímu důleži-
tému pojmu – spojitosti funkce.

———————————————————————————————————

18

Limita a spojitost funkce

Definice 2.5.1: Funkce f je spojitá v bodě x0 ∈ R, jestliže

a) f je definovaná v nějakém okolí U(x0),
b) limx→x

0 f (x) = f (x0).

4

Z této definice si hned můžeme ujasnit vztah mezi limitou a spojitostí funkce

v bodě.

Je třeba si uvědomit, že z existence limity funkce v bodě x0 ∈ R, ještě nemusí

vyplývat spojitost funkce v tomto bodě. O tom nás jistě přesvědčí následující
obrázky.

-x

6

y

b

2

`a

4

3

f

limx→3 f(x) = 2,
f (3) = 4

-

x

6

y

5

limx→5 f(x) = −∞
f není v 5 definovaná

f

Pro výpočet limit je důležité, že je-li funkce spojitá v bodě x0, pak má v tomto

bodě také limitu rovnou funkční hodnotě f (x0). Přitom často využíváme toho, že
„všechny elementární funkceÿ jsou v každém bodě svého definičního oboru spojité
(viz. grafy funkcí). Odtud například limx→2 cos πx = cos 2π = 1, limx→1 ln x =
ln 1 = 0, limx→1 arctg x = arctg 1 = π/4, a podobně

Všimněme si nyní podrobněji chování funkce f : y = 1/x v okolí nuly.