M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

4)

limn→∞ 2n+5

4n2+3n−6 ,

5)

limn→∞

√

n−2+

√

n

√

4n−1 ,

6)

limn→∞

³

n4

n2+n+2 −

n3

n+1

´

,

7)

limn→∞

√

n + 1

¡√

2n − 1 −

√

2n + 1

¢

,

8)

limn→∞

¡

n −

√

n2 + 2n

¢

.

2.3

Pojem limity funkce

Pojem limity funkce hraje v matematické analýze důležitou roli. Využívá se
například při definování derivace, parciální derivace, nevlastního integrálu,
součtu nekonečné řady funkcí a podobně. Z hlediska praktických výpočtů
budeme limity potřebovat zejména při vyšetřování průběhů funkcí, vý-
počtech nevlastních integrálů, určování oborů konvergence funčních řad.
Proto cílem této kapitoly je zejména pochopení pojmu limita, zvládnutí
základních pravidel pro počítání s limitami a výpočet jednodušších limit
potřebných při řešení úloh výše uvedených partií matematické analýzy.

Výklad limity funkce založíme na vlastnostech limit číselných posloupností,

které byly probrány v předchozím odstavci. Uvažujme například funkce g : y =

tg 3x

2x

a h : y = sin π

2x , které nejsou definovány v nule, ale v blízkém okolí nuly

jsou všude definovány. Můžeme proto získat určitou informaci o chování zadaných
funkcí v blízkosti nuly vytvořením tabulek funkčních hodnot v číslech blížících se
k nule a rozdílných od nuly. Zvolme si například posloupnost

(xn)∞

n=1 = (0.1, −0.01, 0.001, −0.0001, . . .) = ((−1)

n+110−n)∞

n=1.

Pak xn → 0 a xn 6= 0 pro všechna n ∈ N. Pro funkce g, h pak získáme následující
tabulky:

xn

0.1

-0.01

0.001

-0.0001

g(xn) 1.546681248 1.500450162 1.5000045 1.500000045

xn

0.1 -0.01 0.001 -0.0001

h(xn)

0

0

0

0

Z tabulek je vidět, že posloupnost g(xn) má pravděpodobně za limitu číslo 1.5

a posloupnost h(xn) má limitu rovnu nule (neboť jde vlastně o posloupnost sinů

———————————————————————————————————