M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
n=1 nebo zkráceně (an)
∞
1
nebo jen
(an), n ∈ N. Lze ji též zapsat v rozepsaném tvaru (a1, a2, . . . , an, . . .). Často
nám může pomoci grafické znázornění posloupnosti. Mějme například posloup-
nost (2n−1)∞
n=1. Pak an = 2n−1 a tedy a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7, a5 = 9, . . . .
Následující obrázek ukazuje možnosti grafického znázornění a) v rovině, b) na re-
álné ose.
-
n
1
`a
2
`a
3
`a
4
`a
5
`a
6
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a)
-
n
0
1
a
a1
2
3
a
a2
4
5
a
a3
b)
8
Limita a spojitost funkce
2.1.1
Vlastnosti posloupností
vlastnost
podmínka
příklad
1.
(an) je shora ohraničená existuje číslo k ∈ R takové,
an = 2n−1
n
že an ≤ k pro všechna n ∈ N
2.
(an) je zdola ohraničená existuje číslo h ∈ R takové,
an = 2+n
2
n2
že an ≥ h pro všechna n ∈ N
3.
(an) je ohraničená
existují čísla h, k ∈ R taková, že an = cos nπ
h ≤ an ≤ k pro všechna n ∈ N
4.
(an) je rostoucí
platí an < an+1
an = 2n−1
n
pro všechna n ∈ N
5.
(an) je klesající
platí an > an+1
an = 2+n
2
n2
pro všechna n ∈ N
6.
(an) je neklesající
platí an ≤ an+1
an = n −
1+(−1)n
2
pro všechna n ∈ N
7.
(an) je nerostoucí
platí an ≥ an+1
an =
1+(−1)n
2
− n
pro všechna n ∈ N
8.
(an) je monotónní
(an) je nerostoucí
an = n −
1+(−1)n
2
nebo neklesající
9.
(an) je ryze monotónní
(an) je rostoucí
an = 2n−1
n
nebo klesající
10. (an) je stacionární
an = an+1 pro všechna n ∈ N
an = (−1)2n+4
11. (an) je aritmetická
an = a1 + (n − 1)d, d ∈ R
an = 5n − 2
pro všechna n ∈ N (d diference)
12. (an) je geometrická
an = a1 · qn−1, q ∈ R
an = 3
n−1
52n
pro všechna n ∈ N (q kvocient)
Příklad 2.1.1: Pro posloupnosti vypsané v tabulce vytvořte tabulku prvních
šesti členů posloupnosti a výsledky graficky znázorněte na reálné ose.