M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

Cvičení 2.2.1: Zkuste si sami podle definice ověřit, že posloupnost

³

n2+1

n

´

diverguje a posloupnost

³

1+(−1)n

2

´

osciluje.

———————————————————————————————————

10

Limita a spojitost funkce

2.2.1

Základní vlastnosti limit posloupností

Je-li (an) posloupnost a (kn) je rostoucí posloupnost přirozených čísel (indexů),
pak posloupnost (ak

n ) se nazývá vybraná posloupnost z posloupnosti (an).

Příklad 2.2.1: Posloupnosti

(a2n) = (1, 1, . . . , 1, . . . ),

(a2n−1) = (0, 0, . . . , 0, . . . )

jsou vybrané posloupnosti „sudýchÿ a „lichýchÿ členů z posloupnosti
(an) =

³

1+(−1)n

2

´

.

1. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.

2. Je-li lim an = a, pak pro každou vybranou posloupnost (ak

n ) z po-

sloupnosti (an) platí limn→∞ ak

n = a.

3. Monotónní posloupnost je konvergentní právě tehdy, když je ohrani-
čená.

4. Je-li lim an = a, lim bn = b a pro všechna n ∈ N, n > k0 ∈ N platí
an ≤ bn, pak také a ≤ b.

5. Změníme-li v posloupnosti konečný počet členů, pak se její limita ne-
změní.

6. Je-li (bn) ohraničená posloupnost a lim an = 0, pak lim anbn = 0.

7. Je-li an > 0 pro n ∈ N, pak lim an = 0 ⇐⇒ lim 1

an = ∞.

Cvičení 2.2.2: Promyslete si odpovědi na následující otázky:

1. Co můžete říci o neklesající shora ohraničené posloupnosti?

2. Pomocí

vybraných

posloupností

zdůvodněte

oscilaci

posloupnosti

(cos nπ)∞

n=1.

√√

Komentář 2.2.2: Nyní si uvedeme důležitý výsledek o konvergenci po-

sloupnosti (qn), q ∈ R. Platí

lim

n→∞

qn =

0

pro

q ∈ (−1, 1),

1

pro

q = 1,

∞

pro

q > 1,

neexistuje

pro

q ≤ −1.

———————————————————————————————————

2.2 Limita posloupnosti

11

Tento výsledek znáte již ze střední školy. Jeho platnost například pro q > 1 vy-
plývá z toho, že lze psát qn = (1+h)n > 1+nh, kde h > 0. Odtud limn→∞ nh = ∞
a tedy limn→∞ qn = ∞. Ostatní výsledky lehce obdržíte využitím vlastností 2, 7.