M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

x+1

, h : y = cos πx v bodech a) −1, b) ∞.

[Doporučujeme posloupnosti a) (−1 + 1

10n ), (−1 +

1

10n ), b) (2n), (

1
2 + 2n).]

3. Podobně jako ve 2. úloze odhadněte limity funkce f : y = x+1

x

v bodech

a) − 1,

b) 0,

c) ∞.

2.4

Definice limity funkce

Na základě našich úvah je logické říci, že funkce f má v bodě x0 limitu tehdy, když
limita posloupnosti funkčních hodnot (f (xn)) nezávisí na volbě posloupnosti (xn),
přičemž xn → x0, xn 6= x0. Tuto společnou limitu posloupnosti funkčních hodnot
nazveme limitou funkce f v bodě x0. Uvědomte si, že nás přitom nezajímá, jak se
funkce chová přímo v bodě x0. Nezáleží na tom, je-li funkce v bodě x0 definovaná,
ani jakou má eventuálně funkční hodnotu f (x0). Proto píšeme xn 6= x0.

Dostáváme se tak k tzv. Heineho definici limity.

Definice 2.4.1: Řekneme, že funkce f : y = f (x) má v bodě x0 ∈ R∗ limitu
rovnu číslu b ∈ R∗, jestliže

1) funkce f je definovaná v nějakém prstencovém okolí P(x0) bodu x0 ∈ R∗,
2) pro každou posloupnost (xn) ⊂ P(x0) s vlastností

limn→∞ xn = x0 platí

limn→∞ f(xn) = b.

Pak píšeme limn→∞ f(xn) = b.

4

Stručněji lze psát: limx→x

0 f (x) = b, jestliže pro všechny posloupnosti platí

(xn) → x0, xn 6= x0 =⇒ f(xn) → b (n → ∞).

Z Heineho definice vyplývá, že funkce má v bodě x0 ∈ R∗ nejvýše jednu limitu

(tato vlastnost je důsledkem jednoznačnosti limity konvergentní posloupnosti).
Všimněte si, že v definici limity mohou být čísla x0 i b i nekonečná (nevlastní)
reálná čísla +∞ a −∞. Pak se často hovoří o různých typech limit, například
„nevlastní limitě ve vlastním boděÿ, „vlastní limitě ve vlastním boděÿ, „nevlastní
limitě v nevlastním boděÿ. Jednotlivé varianty limit si znázorníme graficky: