M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0 (f (x) · g(x)) = r · s.
√√
Komentář 2.6.1:
Při použití výše uvedené Věty je nezbytné respektovat požadavek, že pravá
strana rovnosti musí mít smysl. Proto je zapotřebí znovu si důkladně zo-
pakovat, že mezi výrazy, které nejsou definovány, patří například výrazy
typu
(±∞) + (∓∞), (±∞) − (±∞),
±∞
±∞
,
±∞
∓∞
, 0 · (±∞),
a
0
pro a ∈ R∗.
Pro takové hodnoty pravých stran uvedená tvrzeni a), b), c) neplatí. Na-
příklad
lim
x→∞
kx
x
,
kde k 6= 0 je konstanta, je limita typu ±∞
∞ a je rovna číslu k ∈ R − {0}.
Cvičení 2.6.1: Uvedeme několik řešených příkladů jako vzor pro počítání.
Příklad 1.
lim
x→∞
µµ
1
2
¶x
+ arctg x
¶
= lim
x→∞
µ
1
2
¶x
+ lim
x→∞
arctg x = 0 +
π
2
=
π
2
,
Příklad 2.
lim
x→−∞
(x + 2x) = lim
x→−∞
x + lim
x→−∞
2x = −∞ + 0 = −∞,
Příklad 3.
lim
x→∞
(x3 − 2x + 1) = lim
x→∞
x3
µ
1 −
2
x2
+
1
x3
¶
= ∞ · 1 = ∞,
Příklad 4.
lim
x→−∞
4x3 + x + 2
1 + 2x − 3x2
= lim
x→−∞
x3(4 + 1
x2 +
2
x3 )
x2( 1
x2 +
2
x − 3)
=
= lim
x→−∞
x · lim
x→−∞
4 + 1
x2 +
2
x3
1
x2 +
2
x − 3
= −∞ ·
µ
−
4
3
¶
= ∞,
———————————————————————————————————
2.6 Základní vlastnosti limity funkce
23
Příklad 5.
lim
x→∞
µ
x2
x − 1
−
x3
x2 + 1
¶
= [∞ − ∞] = lim
x→∞
x3 + x2
(x − 1)(x2 + 1)
=
= lim
x→∞
x3(1 + 1
x )
x3(1 − 1
x +
1
x2 −
1
x3 )
= 1.
Nyní si uvedeme důležité tvrzení o limitě složené funkce.
Věta:
Mějme složenou funkci h = f (g) = f ◦ g, tj. h(x) = f (g(x)), přičemž
limx→x
0 g(x) = u0, limu→u0 f (u) = b, kde x0 ∈ R
∗, u0 ∈ R∗, b ∈ R∗.
Pak platí:
a) Existuje-li prstencové okolí P(x0) bodu x0 takové, že pro všechna x ∈ P(x0)
je g(x) 6= u0, pak limx→x