M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

0 h(x) = b.

b) Je-li funkce f spojitá v bodě u0, tj. limu→u

0 f (u)

= f (u0) = b, pak

limx→x

0 f (g(x)) = f (limx→x0 g(x)) = f (u0) = b.

Pokud x0 ∈ R, platí uvedená tvrzení i pro jednostranné limity.

√√

Komentář 2.6.2:

Obsahuje tři poznámky:
(a) Ukážeme si nejprve příklad, který vysvětlí nutnost požadavku g(x) 6= u0
v tvrzení a) Věty. Zvolme si například funkce f, g takto:

g(x) = 1 pro x ∈ R, f (u) =

½

3 pro u 6= 1, u ∈ R,
2 pro u = 1.

-

x

1

`

6

u

1

g

-

u

6

y

a

`a

2

1

f

y = 3

Pak h(x) = f (g(x)) = 2 pro všechna x ∈ R. Odtud limx→1 h(x) = 2,
přičemž u0 = limx→1 g(x) = 1, limu→u

0 f (u) = limu→1 f (u) = 3. Je tedy

vidět, že Věta by bez předpokladu g(x) 6= u0 v okolí P(x0) neplatila.

(b) Pokud je uvedený předpoklad splněn, pak při výpočtu postupu-
jeme tak, že nejprve nalezneme limitu u0 vnitřní složky g a v této hodnotě

———————————————————————————————————

24

Limita a spojitost funkce

u0 pak nalezneme limitu vnější složky f.

(c) Je-li splněn předpoklad spojitosti funkce f v bodě u0 (tvrzení
b) Věty), pak výslednou limitu vypočteme jako funkční hodnotu funkce f
v limitě vnitřní složky g v bodě x0.

Cvičení 2.6.2: Řešené úlohy

1. limx→2

q

x+2
x−1 .

Položíme-li g(x) = x+2

x−1 pro x 6= 1 a f (u) =

√

u pro u ∈< 0, ∞), můžeme

zadanou funkci h psát jako složenou funkci h = f ◦ g = f (g) s definičním oborem

D(h) = {x ∈ R;

x + 2
x − 1

≥ 0} = (−∞, −2 > ∪(1, ∞).

Funkce g je v bodě x0 = 2 spojitá a tedy limx→2 g(x) = g(2) = 4 = u0. Funkce f je
v bodě u0 = 4 rovněž spojitá a podle tvrzení b) Věty můžeme psát limx→2 h(x) =
f (limx→2 g(x)) = f(4) =