M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0 . Protože
znaménko znam f (x) > 0 v P(1), můžeme psát limx→1
1
(x−1)4 = +∞.
2)
lim
x→ 2
3 +
1
(2 − 3x)3
.
Řešení: Opět jde o limitu typu 1
0 , přičemž znam f (x) je v P (
2
3 ) záporné.
Odtud lim
x→ 2
3 +
1
(2−3x)3 = −∞.
Poznámka. Pokud máme vypočítat limitu limx→x
0
g(x)
f (x) , kde x0 ∈ R
∗,
limx→x
0 g(x) = b ∈ R
∗ − {0}, limx→x
0 f (x) = 0, pak stačí tuto limitu
uvažovat ve tvaru limx→x
0 g(x)
1
f (x) a použít větu o limitě součinu funkcí.
Cvičení 2.6.4: Řešené příklady
1.
limx→2 4x−3
(x−2)2 = limx→2(4x − 3)
1
(x−2)2 = 5 · ∞ = ∞,
2.
limx→3− e
x
3−x = limx→3− e
x 1
3−x = e
3 · ∞ = ∞,
3.
limx→0+ ln x
x3 = limx→0+
1
x3 ln x = ∞ · (−∞) = −∞,
4.
limx→∞
arctg x
e1−x
= limx→∞ 1
e1−x arctg x = ∞ ·
π
2 = ∞.
———————————————————————————————————
26
Limita a spojitost funkce
Cvičení 2.6.5: Vypočítejte limity funkcí:
1)
limx→−1 x
3+x2+x+1
2x2+x−1
2)
limx→2
−
x2−4+|x−2|
x−2
3)
limx→3 x
2−2x−3
√
2x+3−3
4)
limx→1
√
x−1
√
x3−1
5)
limx→1
2 −
|6x2+x−2|
2x2+x−1
6)
limx→−3
+
2−x
2x2+5x−3
7)
limx→∞
1−x
x·
arccotg x
8)
limx→4
+ ln
3x+1
x2−4x
9)
limx→−∞(x3 − x + 2)
10)
limx→∞ 3x
4−2
2x4+x+3
11)
limx→−∞ arctg
x3
x2+x+1
12)
limx→∞ e
2x
x2−1
———————————————————————————————————
2.6 Základní vlastnosti limity funkce
27
2.6.1
Testovací úlohy
AUTOTEST 2.6.1: Limity.
úloha
a
b
c
1
limx→2 x
2−4
x−2 =
neexistuje
1
4
2
limx→2
−
x2−4
|x−2| =
-4
neexistuje
4
3
limx→0 1
x2 =
neexistuje
∞
0
4
limx→0 1
3
√
x =
∞
neexistuje
-∞
5
limx→1
−
1
x−1 =
neexistuje
∞
-∞
6
limx→0
−
x+1
arctg x =
-∞
neexistuje
∞
7
limx→3
+
³
1
x−3 −
1
x2−9
´
=
neexistuje
0
∞
8
limx→∞ x
2
x−1 =
1
∞
0
9
limx→−∞ x
2
2x2−3 =
∞
1/2
−∞
10
limx→−∞ x
3
4x2+2 =
∞
1/4
−∞
11
limx→∞
³
x2
x−1 −
x3
x2−1
´
=
0
∞
1
12