M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

√

4 = 2.

2. limx→∞

q

x+2
x−1 .

Užijeme-li označení složek z příkladu 1, pak funkce g není spojitá v bodě +∞,

ale platí limx→∞ x+2

x−1 = 1 = u0. Funkce f je opět v bodě u0 = 1 spojitá a tedy

opět podle b) Věty platí limx→∞ h(x) = f(limx→∞ g(x)) = f(1) =

√

1 = 1.

3. limx→−∞ e

x2

x+1

.

Označíme-li g(x) = x

2

x+1 , f (u) = e

u, pak platí limx→−∞ g(x) = −∞ = u0,

přičemž funkce f není spojitá v u0. Je však jasné, že pro všechna x ∈ P(−∞)
platí g(x) 6= −∞ a tedy dle a) Věty lze psát

lim

x→−∞

h(x) = lim

x→−∞

f (g(x)) = lim

u→u0

f (u) = lim

u→−∞

eu = 0.

Cvičení 2.6.3: Vypočítejte limity

1. limx→4 3

q

x−5

5x+7 ,

2. limx→1 sin x−1

x2+x−2 ,

3. limx→−∞ ln x

2+3

2x2+x ,

4. limx→∞ arctg x

2

x+1 .

Později, při vyšetřování průběhu funkce budeme využívat následující tvrzení:

Věta:
Jestliže limx→x

0 f (x) = 0, kde x0 ∈ R

∗, a existuje-li prstencové okolí P(x0)

v němž pro všechna x ∈ P(x0) platí f(x) > 0, resp. f(x) < 0, pak
limx→x

0

1

f (x) = ∞, resp. limx→x0

1

f (x) = −∞,

Pokud x0 ∈ R, platí uvedená tvrzení i pro jednostranné limity.

———————————————————————————————————

2.6 Základní vlastnosti limity funkce

25

Poznámka. U limit tohoto typu tedy stačí zjistit znaménko funkčních
hodnot f (x) v nějakém okolí P(x0) a limita je pak rovna buď +∞ nebo−∞.
Pokud je x0 ∈ R a znaménka funkčních hodnot f(x) se v okolích P+(x0)
a P−(x0) liší, je zapotřebí uvažovat příslušné jednostranné limity, neboť
limx→x

0

1

f (x) neexistuje.

Příklad 2.6.1:

1)

lim

x→1

1

(x − 1)4

.

Řešení: limx→1 f(x) = limx→1(x − 1)4 = 0 a tedy jde o limitu typu 1