M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

-

x

6

y

c

d

Cvičení 2.5.2: Na základě grafů funkcí určete intervaly spojitosti těchto funkcí

a) f1 : y = x2 + 1,

b) f2 : y = 1

x ,

c) f3 : y = log2 x,

d) f4 : y = arcsin x, e) f5 : y = sin x, f) f6 : y = tg x,
g) f7 : y = ex.

√√

Komentář 2.5.1: Než-li uvedeme příklad základních vlastností limit, se-

známíme se ještě s tzv. Cauchyovou definicí limity funkce o níž se dá dokázat, že
je ekvivalentní s Heineovou definicí limity. Uvádíme ji mimo jiné proto, že v mnohé
literatuře se při definování limity funkce v bodě právě z této definice vychází. Jde
o následující tvrzení.

Funkce f má v bodě x0 ∈ R limitu rovnou číslu b ∈ R, když pro každé ε ∈ R, ε > 0,
existuje δ ∈ R, δ = δ(ε) > 0 takové, že pro všechna x ∈ P(x0) splňující podmínku
0 < |x − x0| < δ platí nerovnost |f(x) − b| < ε.

Tento přístup k limitě si vysvětlíme opět na příkladu

lim

x→ 1

2

4x2 − 1

2x − 1

.

Má-li být limita funkce f v čísle 1

2 rovna dvěma (viz graf funkce g : y = 2x + 1, která se

pro x 6= 1

2 rovná funkci f ), pak musí být funkční hodnoty f (x) „libovolně blízkéÿ číslu

2, a to pro všechna x rozdílná od 1

2 a dostatečně „blízkáÿ číslu

1

2 . Vyjádříme-li míru

blízkosti (vzdálenosti) užitím zavedených okolí bodů, pak musí pro libovolně zvolené
malé kladné číslo ε platit nerovnice |f (x) − 2| < ε, tj. f (x) ∈ U(2, ε), pro všechna x
z nějakého prstencového okolí čísla 1

2 . Bude proto existovat číslo δ = δ(ε) > 0 takové, že

nerovnice |f (x) − 2| < ε bude platit pro všechna x ∈ P( 1