M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce

2.2.2

Algebra limit posloupností

Je-li lim an = a, lim bn = b, přičemž a, b ∈ R∗, pak platí
1) lim (an ± bn) = a ± b,
2) lim (an · bn) = a · b,
3) lim an

bn =

a

b ,

4) lim |an| = |a|,
pokud mají výrazy na pravých stranách smysl.

Jak se tyto vlastnosti odvozují, ukážeme si na důkazu vlastnosti 1) pro

a, b ∈ R. Je-li lim an = a, lim bn = b, pak pro libovolné ε > 0 existuje index
n1 ∈ N tak, že pro všechna n > n1 je |an − a| < ε

2 a index n2 ∈ N takový, že pro

všechna n > n2 je |bn − b| < ε

2 . Položíme-li n0 = max{n1, n2}, pak pro n > n0 je

|(an + bn) − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε

2 +

ε
2 = ε.

Odtud (an + bn) −→ a + b.

Poznámka: Abychom mohli tyto vlastnosti bezchybně využívat, potřebujeme

dobře znát, které operace s nevlastními čísly jsou definovány (tj. můžeme přímo
určit výsledek, a to tak, jak jsme zvyklí u počítání s konečnými reálnými čísly)
nebo zda jde o tzv. neurčité výrazy (výrazy, které nejsou definovány), které se
snažíme převést různými úpravami na výrazy s definovanými operacemi.

Mezi definované operace pro reálná čísla k ∈ R a nevlastní čísla ∞ a −∞
patří:
1) ∞ + ∞ = ∞, −∞ − ∞ = −∞,
2) k ± ∞ = ±∞ + k = ±∞,
3) ∞ · ∞ = ∞, ∞ · (−∞) = (−∞) · ∞ = −∞, (−∞) · (−∞) = ∞,
−(−∞) = ∞,
4) k · (±∞) = (±∞) · k = ±∞ pro k > 0,

k · (±∞) = (±∞) · k = ∓∞ pro k < 0,

5) k

±∞ = 0,