M05 - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
6)
k∞ = 0
pro
0 < k < 1
k∞ = ∞
pro
k > 1
∞∞ = ∞.
———————————————————————————————————
12
Limita a spojitost funkce
Naopak nejsou definovány (tzv. neurčité) výrazy:
∞ − ∞, −∞ + ∞, 0 · ∞, 0 · (−∞),
±∞
±∞
,
±∞
∓∞
,
k
0
,
±∞
0
, (±∞)0,
00, 1∞, k∞ pro k < 0.
√√
Komentář 2.2.3: Nyní si spočítáme několik příkladů na užití vlastností
limit.
Příklad 1.
lim
n→∞
3n2 + 2
5n2 + 4n − 2
= lim
n→∞
an
bn
,
přičemž limn→∞ an = ∞, limn→∞ bn = ∞ a tedy nelze použít vlastnost 3 o limitě
podílu, neboť výraz ∞
∞ není definován. Proto podíl upravíme na tvar
lim
n→∞
3 + 2
n2
5 + 4
n −
2
n2
=
3
5
.
Abychom u dalších příkladů nemuseli slovně vypisovat o jaké typy výrazů se
jedná, zapíšeme určený typ do hranaté závorky.
Příklad 2.
lim
n→∞
2n − 3
3n2 + 4
=
h∞
∞
i
= lim
n→∞
n
¡
2 − 3
n
¢
n2
¡
3 + 4
n2
¢ = lim
n→∞
¡
2 − 3
n
¢
n
¡
3 + 4
n2
¢ =
2
∞
= 0.
Příklad 3.
lim
n→∞
n3 + n2 + 1
2 − 5n2
=
·
∞
−∞
¸
= lim
n→∞
n3
¡
1 + 1
n +
1
n3
¢
n2
¡
2
n2 − 5
¢
=
= lim
n→∞
n
¡
1 + 1
n +
1
n3
¢
2
n2 − 5
= ∞ ·
µ
−
1
5
¶
= −∞.
Příklad 4.
lim
n→∞
µ
2n2
2n − 3
−
n2
n + 4
¶
= [∞ − ∞] = lim
n→∞
11n2
2n2 + 5n − 12
=
h∞
∞
i
=
= lim
n→∞
11
2 + 5
n −
12
n2
=
11
2
.
Příklad 5.
lim
n→∞
³√
4n2 + 3n − 2n
´
= [∞ − ∞] =
= lim
n→∞
¡√
4n2 + 3n − 2n
¢ ¡√
4n2 + 3n + 2n
¢
√
4n2 + 3n + 2n
= lim
n→∞
3n
√
4n2 + 3n + 2n
=
=
h∞
∞
i
= lim
n→∞
3
q
4 + 3
n + 2
=
3
4
.
———————————————————————————————————
2.3 Pojem limity funkce
13
Cvičení 2.2.3: Vypočítejte limity posloupností:
1)
limn→∞ 2n
2+2n
3n2+n−2 ,
2)
limn→∞(5n2 − 3n),
3)
limn→∞ 3n
3−7n
4n2+5n+2 ,