2.Určitý Riemannův integrál a aplikace

//

/

.

..

Konstrukce (definice) Riemannova integr ´alu.

c

Robert Maˇr´ık, 2008 ×

Definice (d ˇelen´ı intervalu). Bud’ [a, b] uzavˇren´y interval −∞ < a < b < ∞.
D ˇelen´ım intervalu [a, b] rozum´ıme koneˇcnou posloupnost D = {x0, x1, . . . , xn}
bod ˚u z intervalu [a, b] s vlastnost´ı

a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn = b.

ˇ

C´ısla xi naz´yv´ame d ˇel´ıc´ı body. Normou d ˇelen´ı D rozum´ıme maxim´aln´ı ˇc´ıslo, kter´e
ud ´av ´a vzd ´alenost sousedn´ıch dˇel´ıc´ıch bod ˚u. Normu dˇelen´ı D oznaˇcujeme ν(D).
Je tedy ν(D) = max{xi − xi−1, 1 ≤ i ≤ n}.

Definice (integr ´aln´ı souˇcet). Bud’ [a, b] uzavˇren´y interval a f funkce definovan ´a
a ohraniˇcen ´a na [a, b]. Bud’ D d ˇelen´ı intervalu [a, b]. Bud’ R = {ξ1, . . . , ξn} po-
sloupnost ˇc´ısel z intervalu [a, b] spl ˇnuj´ıc´ı xi−1 ≤ ξi ≤ xi pro i = 1..n. Potom

souˇcet

σ(f , D, R) =

n

X

i =1

f (ξi)(xi − xi−1)

naz´yv ´ame integr ´aln´ım souˇctem funkce f pˇr´ısluˇsn´ym dˇelen´ı D a v´yb ˇeru reprezen-
tant ˚u R.

//

/

.

..

Konstrukce (definice) Riemannova integr ´alu.

c

Robert Maˇr´ık, 2008 ×

Definice (Riemann ˚uv integr ´al). Bud’ [a, b] uzavˇren´y interval a f funkce defino-
van ´a a ohraniˇcen ´a na [a, b]. Bud’ Dn posloupnost dˇelen´ı intervalu [a, b] a Rn po-
sloupnost reprezentant ˚u. ˇ

Rekneme, ˇze funkce f je Riemannovsky integrovateln ´a

na intervalu [a, b], jestliˇze existuje ˇc´ıslo I ∈ R s vlastnost´ı

lim

n

→∞

σ(f , Dn, Rn) = I

pro libovolnou posloupnost d ˇelen´ı Dn, splˇnuj´ıc´ı lim

n

→∞

ν(Dn) = 0 pˇri libovoln´e volbˇe

reprezentant ˚u R