2.Určitý Riemannův integrál a aplikace
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Funkce
a
b
Stˇredn´ı hodnota
stˇr. hodnota
a
b
//
/
.
..
Konstrukce (definice) Riemannova integr ´alu.
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
2
V ´ypo ˇcet — Newtonova–Leibnizova v ˇeta.
V ˇeta 5 (Newtonova–Leibnizova v ˇeta). Necht’ funkce f (x) je Riemannovsky integro-
vateln ´a na [a, b]. Necht’ F (x) je funkce spojit ´a na [a, b], kter ´a je intervalu (a, b) pri-
mitivn´ı k funkci f (x). Pak plat´ı
Z
b
a
f (x) dx = [F (x)]
b
a = F (b) − F (a).
Pˇr´ıklad.
Z
3
0
(x2 − 2x + 2) dx =
"
x
3
3
− x
2
+ 2x
#3
0
=
3
3
3
− 3
2
+ 2.3
−
"
0
3
3
− 0
2
+ 2.0
#
= 3
2 − 32 + 6 − 0
= 6
//
/
.
..
V´ypoˇcet — Newtonova–Leibnizova v ˇeta.
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
3
Numerick ´y odhad — Lichob ˇeˇzn´ıkov´e pravidlo
• Vr´at´ıme se k definici Riemannova integr ´alu a k integr´aln´ım souˇct˚um.
• Budeme se snaˇzit co nejl´epe aproximovat plochu pod kˇrivkou.
• Pro vˇetˇs´ı poˇcetn´ı komfort budeme interval dˇelit na stejnˇe dlouh´e d´ılky.
//
/
.
..
Numerick´y odhad — Lichob ˇeˇzn´ıkov ´e pravidlo
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
0
3
Integr ´al
Z
3
0
(x2 − 2x + 2) dx.
D ˇelen´ı a integr ´aln´ı souˇcet
//
/
.
..
Numerick´y odhad — Lichob ˇeˇzn´ıkov ´e pravidlo
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
I
≈
h
2
f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + f (x3)
h = 1 je d ´elka mezi sousedn´ımi znaˇckami na ose x
x0 = 0
x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
Integr ´al
Z
3
0
(x2 − 2x + 2) dx.
Nahrad´ıme kaˇzd´y obd´eln´ık lichob ˇeˇzn´ıkem. Aproximace je lepˇs´ı a v´ypoˇcet se moc
nezhorˇs´ı.
//
/
.
..
Numerick´y odhad — Lichob ˇeˇzn´ıkov ´e pravidlo
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
I
≈
h
2
f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + 2f (x3) + 2f (x4) + f (x5)
h = 0.6 je d ´elka mezi sousedn´ımi znaˇckami na ose x