2.Určitý Riemannův integrál a aplikace
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x0 = 0
x1 = 0.6
x2 = 1.2
x3 = 1.8
x4 = 2.4
x5 = 3
Integr ´al
Z
3
0
(x2 − 2x + 2) dx.
Vol´ıme kratˇs´ı v´yˇsku lichob ˇeˇzn´ık ˚u a aproximace je jeˇstˇe lepˇs´ı, poˇc´ıt´an´ı je vˇsak delˇs´ı.
//
/
.
..
Numerick´y odhad — Lichob ˇeˇzn´ıkov ´e pravidlo
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
I
≈
h
2
f (x0) + 2f (x1) + · · · + 2f (x5) + f (x6)
h = 0.5 je d ´elka mezi sousedn´ımi znaˇckami na ose x
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Integr ´al
Z
3
0
(x2 − 2x + 2) dx.
Pro jemn ˇejˇs´ı dˇelen´ı je aproximace jeˇstˇe lepˇs´ı.
Chyba, kter ´e se dopust´ıme, je mal ´a jestliˇze
• pouˇzijeme “dostateˇcnˇe jemn´e” dˇelen´ı,
• funkce se “pˇr´ıliˇs neliˇs´ı” od line´arn´ı funkce (to ale neovlivn´ıme).
//
/
.
..
Numerick´y odhad — Lichob ˇeˇzn´ıkov ´e pravidlo
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
Pˇr´ıklad. Hledejme
Z
2
1
sin x
x
dx. n = 10, h = 0.1.
i
xi = a + hi
yi =
sin x
i
xi
m
myi
0
1
0.841471
1
0.841471
1
1.1
0.810189
2
1.620377
2
1.2
0.776699
2
1.553398
3
1.3
0.741199
2
1.482397
4
1.4
0.703893
2
1.407785
5
1.5
0.664997
2
1.329993
6
1.6
0.624734
2
1.249467
7
1.7
0.583332
2
1.166664
8
1.8
0.541026
2
1.082053
9
1.9
0.498053
2
0.996105
10
2
0.454649
1
0.454649
Souˇcet v posledn´ım sloupci je S = 13.184361 a proto
Z
2
1
sin x
x
dx ≈
h S
2
=
S
20
= 0.659218.
//
/
.
..
Numerick´y odhad — Lichob ˇeˇzn´ıkov ´e pravidlo
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
Pˇr´ıklad. Hledejme
Z
2
1
sin x
x
dx. n = 10, h = 0.1.
i
xi = a + hi
yi =
sin x
i
xi
m
myi
0
1
0.841471
1
0.841471
1
1.1
0.810189
2
1.620377
2
1.2
0.776699
2
1.553398
3
1.3
0.741199
2
1.482397
4
1.4
0.703893
2
1.407785
5
1.5
0.664997
2
1.329993
6
1.6
0.624734
2
1.249467
7
1.7
0.583332
2
1.166664
8
1.8
0.541026
2
1.082053
9
1.9
0.498053
2
0.996105
10
2
0.454649
1
0.454649
Souˇcet v posledn´ım sloupci je S = 13.184361 a proto
Z
2
1
sin x
x
dx ≈
h S
2
=
S
20
= 0.659218.
• Rozdˇel´ıme interval na 10 d´ılk ˚u, n = 10. D´elka jednoho d´ılku bude h =
b
− a
n
=
2 − 1
10
= 0.1.
• V´ypoˇcet zaznamen´ame v n´asleduj´ıc´ı tabulce (budeme zaokrouhlovat na 6