2.Určitý Riemannův integrál a aplikace
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
n.
ˇ
C´ıslo I naz´yv´ame Riemann ˚uv integr ´al funkce f na intervalu
[a, b] a oznaˇcujeme
Z
b
a
f (x) dx.
Definice (horn´ı a doln´ı mez). ˇC´ıslo a v definici Riemannova integr ´alu se naz´yv´a
doln´ı mez a ˇc´ıslo b horn´ı mez Riemannova integr ´alu.
//
/
.
..
Konstrukce (definice) Riemannova integr ´alu.
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
V ˇeta 1 (postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky pro integrovatelnost funkce).
1. Funkce spojit ´a na intervalu [a, b] je na tomto intervalu Riemannovsky integro-
vateln ´a.
2. Funkce ohraniˇcen ´a na [a, b], kter ´a m ´a na tomto intervalu koneˇcn´y poˇcet bod ˚u
nespojitosti je Riemannovsky integrovateln ´a.
3. Funkce monotonn´ı na [a, b] je na tomto intervalu Riemannovsky integrova-
teln ´a.
V ˇeta 2 (linearita urˇcit ´eho integr ´alu vzhledem k funkci). Necht’ f , g jsou funkce inte-
grovateln ´e na [a, b], c necht’ je re ´aln ´e ˇc´ıslo. Pak plat´ı
Z
b
a
[f (x) + g(x)] dx =
Z
b
a
f (x) dx +
Z
b
a
g(x) dx,
Z
b
a
cf (x) dx = c
Z
b
a
f (x) dx.
V ˇeta 3 (aditivita urˇcit ´eho integr ´alu vzhledem k mez´ım). Necht’ f je funkce integrova-
teln ´a na [a, b]. Bud’ c ∈ (a, b) libovoln´e. Pak je f integrovateln´a na intervalech [a, c]
a [c, b] a plat´ı
Z
b
a
f (x) dx =
Z
c
a
f (x) dx +
Z
b
c
f (x) dx.
//
/
.
..
Konstrukce (definice) Riemannova integr ´alu.
c
Robert Maˇr´ık, 2008 ×
V ˇeta 4 (monotonie vzhledem k funkci). Bud’te f a g funkce integrovateln ´e na [a, b]
takov ´e, ˇze f (x) ≤ g(x) pro x ∈ (a, b). Pak plat´ı
Z
b
a
f (x) dx
≤
Z
b
a
g(x) dx.
Definice (stˇredn´ı hodnota). Bud’ f funkce (Riemannovsky) integrovateln ´a na in-
tervalu [a, b]. ˇ
C´ıslo
1
b
− a
Z
b
a
f (x) dx
se naz´yv ´a stˇredn´ı hodnota funkce f na intervalu [a, b].