Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
y =
1
x
, y = 4x, x = 3.
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
√
2 + 5
12
;
b)
Z
ln 2
0
x2 ey
x=0
x=−1
dy = −1;
c)
225
64
;
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
63
5.1.2
Transformace dvojn´
eho integr´
alu
Jakobi´
an zobrazen´ı — Pro zobrazen´ı Φ : R
2 → R2, urˇcen´e rovnicemi x = ϕ(u, v) a
y = φ(u, v), kde ϕ a φ maj´ı parci´
aln´ı derivace, definujeme jakobi´
an zobrazen´ı jako
determinant matice:
|J| = J(Φ) =
ϕ0
u
ϕ0
v
φ0
u
φ0
v
Regul´
arn´ı zobrazen´ı — zobrazen´ı (transformace) Φ : O ⊂ R
2 → O0 ⊆ R2, kter´y m´a
nenulov´
y jakobi´
an.(J (Φ) 6= 0).
Transformace dvojn´
eho integr´
alu — Necht’ je Φ je prost´
e, regul´
arn´ı zobrazen´ı uzavˇren´
e
omezen´
e oblasti O na oblast O0, urˇ
cen´
e rovnicemi x = ϕ(u, v) a y = φ(u, v), potom
ZZ
O
f (x, y) dxdy =
ZZ
O0
f
ϕ(u, v), φ(u, v)
· |J| dudv.
Pol´
arn´ı souˇ
radnice — Zobrazen´ı Φ : h0, ∞) × h0, 2πi → R
2 urˇcen´e rovnicemi
x = ρ cos ϕ,
y = ρ sin ϕ;
J (Φ) = ρ.
Transformace dvojn´
eho integr´
alu do pol´
arn´ıch souˇ
radnic —
ZZ
O
f (x, y) dxdy =
ZZ
O0
f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) · ρ dρdϕ.
Pˇ
r´ıklad 5.1.9. Vypoˇ
ctˇ
ete dvojn´
y integr´
al
ZZ
B
p
x2 + y2 dxdy, pˇ
res oblast
B = {(x, y) ∈ R
2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ 4}.
ˇ
Reˇsen´ı:
Pop´ıˇseme oblast B v pol´
arn´ıch souˇradnic´ıch:
x = ρ cos ϕ,
ϕ ∈
0, π
2
,
y = ρ sin ϕ,
ρ ∈ h0, 2i .
V naˇsem pˇr´ıpadˇ
e je tedy
B0 = {(ρ, ϕ) ∈ R
2 : 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ π
2 }.
B
y
x
2
2
ZZ
B
p
x2 + y2 dxdy =
ZZ
B0
p
ρ2 · ρ dρdϕ =
Z
π
2
0
Z 2
0
ρ
2dρ
dϕ =
=
Z
π
2
0
ρ3
3
2
0
dϕ =
8
3
Z
π
2
0
dϕ =
4
3
π.
64
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
Reference
[1] Eliaˇs, J., Horv´