Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
f ) f (x, y, z) = ln
y z2
x
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Nejdˇr´ıve spoˇ
c´ıt´
ame parci´
aln´ı derivace prvn´ıho ˇr´
adu dan´
e funkce:
∂f
∂x
= e
y ,
∂f
∂y
= x e
y .
Potom
∂2f
∂x2
= 0,
∂f 2
∂y2
= x e
y ,
∂f 2
∂x∂y
=
∂f 2
∂y∂x
= e
y .
b) f 00
xx =
2y2
(x−y)3 ,
f 00
xy = −
2xy
(x−y)3 ,
f 00
yy =
2x2
(x−y)3 ;
c) f 00
xx = − cos(x − y),
f 00
xy = 1 + cos(x − y), f
00
yy = − cos(x − y);
d) f 00
xx =
2y2−2x2
(x2+y2)2 , f
00
xy =
−4xy
(x2+y2)2 ,
f 00
yy =
2x2−2y2
(x2+y2)2 ;
e) f 00
xx = 0, f
00
yy = 0, f
00
zz = 0, f
00
xy = z, f
00
xz = y, f
00
yz = x;
f) f 00
xx =
1
x2 , f
00
yy = −
1
y2 , f
00
zz = −
2
z2 , f
00
xy = 0, f
00
xz = 0, f
00
yz = 0.
56
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
Pˇ
r´ıklad 4.0.15. Dokaˇ
zte, ˇ
ze funkce z = e
x(x cos y − y sin y) vyhovuje diferenci´aln´ı rov-
nici z
00
xx + z
00
yy = 0.
Pˇ
r´ıklad 4.0.16. Dokaˇ
zte, ˇ
ze funkce
z = arctg(2x − y) vyhovuje diferenci´
aln´ı rovnici
z
00
xx + 2z
00
xy = 0.
Pˇ
r´ıklad 4.0.17. Dokaˇ
zte, ˇ
ze funkce
f (x, y) =
xy
x − y
vyhovuje diferenci´
aln´ı rovnici
f
00
xx + 2f
00
xy + f
00
yy =
2
x − y
.
Pˇ
r´ıklad 4.0.18. Dokaˇ
zte, ˇ
ze funkce u =
1
px2 + y2 + z2
vyhovuje diferenci´
aln´ı rovnici
u
00
xx + u
00
yy + u
00
zz = 0.
Pˇ
r´ıklad 4.0.19. Najdˇ
ete z
(4)
xxxy kde
z = y ln(xy).
ˇ
Reˇsen´ı:
z
0
x = y
1
xy
y =
y
x
,
z
00
xx = −
y
x2
,
z
000
xxx =
2y
x3
⇒
z
(4)
xxxy =
2
x3
.
Pˇ
r´ıklad 4.0.20. Najdˇ
ete z000
xyy kde
z = ln(x
2 + y2).
ˇ
Reˇsen´ı:
z000
xyy =
4x(3y2−x2)
(x2+y2)2 .
Pˇ
r´ıklad 4.0.21. Dokaˇ
zte, ˇ
ze funkce
z = x e
y + y ex vyhovuje diferenci´aln´ı rovnici
z
000
xxx + z
000
yyy = xz
000
xyy + yz
000
xxy .
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh