Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ZZ
I
f (x, y)dxdy =
Z
b
a
Z
d
c
f (x, y)dy
dx =
Z
d
c
Z
b
a
f (x, y)dx
dy.
Pˇ
r´ıklad 5.1.1. Vypoˇ
c´ıtejte n´
asleduj´ıc´ı dvojn´
e integr´
aly pˇ
res dvojrozmˇ
ern´
y interval:
a)
ZZ
I
x
2y dx dy,
I = h0, 2i × h1, 2i
b)
ZZ
I
e
x−y dx dy,
I = h0, 1i × h0, 1i
c)
ZZ
I
x
2 + y dx dy,
I = h0, 1i × h0, 2i
d)
ZZ
I
x
y dx dy,
I = h0, 1i × h1, 2i
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
ZZ
I
x
2y dxdy =
Z
2
0
Z 2
1
x
2y dy
dx =
Z
2
0
x
2 y
2
2
y=2
y=1
dx =
=
3
2
Z
2
0
x
2dx =
3
2
x3
3
2
0
= 4.
Nebo
ZZ
I
x
2y dxdy =
Z
2
1
Z 2
0
x
2y dx
dy =
Z
2
1
x3
3
y
x=2
x=0
dy =
=
8
3
Z
2
1
y dy =
8
3
y2
2
2
1
= 4.
b)
ZZ
I
e
x−y dx dy =
Z
1
0
Z 1
0
e
xe−y dx
dy =
Z
1
0
e−y ex
x=1
x=0
dy = (e−1)
Z
1
0
e
−y dy =
= (e − 1)
−e−y
1
0
= (e − 1)(−e
−1 + 1) = e + e−1 − 2.
c)
ZZ
I
x
2 + y dx dy =
Z
1
0
Z 2
0
x
2 + y dy
dx =
Z
1
0
x
2 y +
y2
2
y=2
y=0
dx =
=
Z
1
0
2x
2 + 2 dx =
2x3
3
+ 2x
1
0
=
8
3
.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
59
d)
ZZ
I
x
y dxdy =
Z
1
0
Z 2
1
x
y dy
dx =
Z
1
0
xy
ln x
y=2
y=1
dx =
Z
1
0
x2 − x
ln x
dx.
Tento integr´
al neum´ıme spoˇ
c´ıtat, proto provedeme zmˇ
enu poˇrad´ı integrov´
an´ı:
ZZ
I
x
y dxdy =
Z
2
1
Z 1
0
x
y dx
dy =
Z
2
1
xy+1
y + 1
x=1
x=0
dy =
Z
2
1
1
y + 1
dy =
= [ln(y + 1)]
2
1 = ln
3
2
.
T´ım jsme spoˇ
c´ıtali i integr´
al
Z
1
0
x2 − x
ln x
dx = ln
3
2
.
Pˇ
r´ıklad 5.1.2. Vypoˇ
c´ıtejte dvojn´
e integr´
aly pˇ
res dvojrozmˇ
ern´
y interval:
a)
ZZ
I
x2
1 + y2
dx dy,
I = h0, 1i × h0, 1i
b)
ZZ
I
y e
x+y dx dy,
I = h0, 1i × h0, 1i
c)
ZZ
I
x sin y dx dy,
I = h1, 2i ×
0, π
2
d)
ZZ
I
x
2y cos(xy2) dx dy,
I =
0, π
2
× h0, 2i
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
π
12
;
b) e − 1;
c)
3
2
;
d) −
π
16
.
Pˇ
r´ıklad 5.1.3. Zn´
azornˇ
ete n´
asleduj´ıc´ı mnoˇ
ziny ohraniˇ
cen´
e dan´
ymi kˇ
rivkami, rozhodnˇ
ete
zda jsou element´
arn´ımi oblasti a popiˇ
ste je pomoc´ı nerovnic: