Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
57
5
Integr´
aln´ı poˇ
cet funkce v´ıce promˇ
enn´
ych
5.1
Dvojn´
y integr´
al
5.1.1
V´
ypoˇ
cet dvojn´
eho integr´
alu
Dvojrozmˇ
ern´
y interval — I ⊂ R
2, kart´ezsk´y souˇcin dvou jednorozmˇern´ych ohraniˇcen´ych
interval˚
u: I = ha, bi × hc, di.
Dvojn´
y integr´
al funkce f (x, y) pˇ
res I ⊂ R
2
—
R
R
I
f (x, y)dxdy =
R b
a
R d
c f (x, y)dy
dx,
resp.
R
R
I
f (x, y)dxdy =
R d
c
R b
a f (x, y)dx
dy.
Dvojrozmˇ
ern´
y integr´
al se tedy vypoˇ
c´ıt´
a pomoc´ı dvou urˇ
cit´
ych integr´
al˚
u - postupnou
integrac´ı vˇ
zdy podle jedn´
e promˇ
enn´
e (analogie parci´
aln´ı derivace).
Element´
arn´ı oblast v rovinˇ
e typu [x, y] — mnoˇ
zina bod˚
u [x, y] ∈ M ⊂ R
2, kter´e
vyhovuj´ı nerovnostem
M :
a ≤ x ≤ b
f (x) ≤ y
≤ g(x)
kde a, b, a < b jsou ˇ
c´ısla a f, g jsou funkce spojit´
e na intervalu ha, bi.
Element´
arn´ı oblast v rovinˇ
e typu [y, x] — mnoˇ
zina bod˚
u [x, y] ∈ A ⊂ R
2, pro kter´e
plat´ı
A :
c ≤ y
≤ d
f (y) ≤ x ≤ g(y)
kde c, d, c < d jsou ˇ
c´ısla a f, g jsou funkce spojit´
e na intervalu hc, di.
M
y=f(x)
y=g(x)
b
a
y
x
A
x=g(y)
x=f(y)
d
c
y
x
Obr´
azek 5.1: Element´
arn´ı oblast
typu [x, y]
Obr´
azek 5.2: Element´
arn´ı oblast
typu [y, x]
Dvojn´
y integr´
al funkce f (x, y) pˇ
res element´
arn´ı oblast O typu [x, y] —
ZZ
O
f (x, y)dxdy =
Z
b
a
Z
g(x)
f (x)
f (x, y) dy
dx.
58
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
Dvojn´
y integr´
al funkce f (x, y) pˇ
res element´
arn´ı oblast O typu [y, x] —
ZZ
O
f (x, y)dxdy =
Z
d
c
Z
g(y)
f (y)
f (x, y) dx
dy.
Pozn´
amka 1. Dvojrozmˇ
ern´
y interval I je obd´
eln´ık.
Pozn´
amka 2. Necht’ I = ha, bi × hc, di. Je-li f : I → R integrovateln´a na I, pak plat´ı, ˇze