Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

a) Nejdˇr´ıve spoˇ

c´ıt´

ame tˇret´ı souˇradnici bodu T. Bod leˇ

z´ı na ploˇse, a

proto z0 = f (2, −1) = 1. D´

ale

∂z

∂x

= x,

∂z

∂x

(T ) = 2;

∂z

∂y

= −2y,

∂z

∂y

(T ) = 2.

Rovnice teˇ

cn´

e roviny ρ k ploˇse z =

x2

2 − y

2 v bodˇe T=[2, -1,1]:

ρ : 2(x − 2) + 2(y + 1) − (z − 1) = 0.

Po ´

upravˇ

e dostaneme rovnici teˇ

cn´

e roviny ρ : 2x + 2y − z − 1 = 0.

b) Plocha je dan´

a implicitnˇ

e. Bod T leˇ

z´ı na dan´

e ploˇse, protoˇ

ze souˇradnice

tohoto bodu splˇ

nuj´ı rovnici plochy: 1 + 8 − 1 − 2 − 6 = 0. Spoˇ

c´ıt´

ame parci´

aln´ı

derivace funkce F (x, y, z) = x3 + y3 + z3 + xyz − 6 :

F

0

x = 3x

2+yz, F 0

y = 3y

2+xz, F 0

z = 3z

2+xy; F 0

x(T ) = 1, F

0

y (T ) = 11, F

0

z (T ) = 5.

Potom

ρ : 1(x − 1) + 11(y − 2) + 5(z + 1) = 0.

Po ´

upravˇ

e dostaneme rovnici teˇ

cn´

e roviny ρ : x + 11y + 5z − 18 = 0.

c) T = [3, 4, −7] a ρ : 17x + 11y + 5z − 60 = 0; d) 3x4 − 4 + 4x − 4x + 1 = 0
⇒ 3x4 = 3 ⇒ x = 1 anebo x = −1 ⇒ T1 = [1, 1, 1] a ρ1 : 3x − 2y −
2z + 1 = 0 a tak´

e T2 = [−1, 1, 1] a ρ2 : 3x + 4y − 1 = 0; e) T = [2, 1, 4] a

ρ : 8x − 8y − z − 4 = 0.

Pˇ

r´ıklad 4.0.14. Najdˇ

ete vˇ

sechny parci´

aln´ı derivace druh´

eho ˇ

r´

adu funkce f podle jednot-

liv´

ych promˇ

enn´

ych

a) f (x, y) = x ey

b) f (x, y) = x + y +

xy

x−y

c) f (x, y) = xy + cos(x − y)

d) f (x, y) = ln(x2 + y2)

e) f (x, y, z) = xyz − 3x + 7y + 5z