Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
a) Nejdˇr´ıve spoˇ
c´ıt´
ame tˇret´ı souˇradnici bodu T. Bod leˇ
z´ı na ploˇse, a
proto z0 = f (2, −1) = 1. D´
ale
∂z
∂x
= x,
∂z
∂x
(T ) = 2;
∂z
∂y
= −2y,
∂z
∂y
(T ) = 2.
Rovnice teˇ
cn´
e roviny ρ k ploˇse z =
x2
2 − y
2 v bodˇe T=[2, -1,1]:
ρ : 2(x − 2) + 2(y + 1) − (z − 1) = 0.
Po ´
upravˇ
e dostaneme rovnici teˇ
cn´
e roviny ρ : 2x + 2y − z − 1 = 0.
b) Plocha je dan´
a implicitnˇ
e. Bod T leˇ
z´ı na dan´
e ploˇse, protoˇ
ze souˇradnice
tohoto bodu splˇ
nuj´ı rovnici plochy: 1 + 8 − 1 − 2 − 6 = 0. Spoˇ
c´ıt´
ame parci´
aln´ı
derivace funkce F (x, y, z) = x3 + y3 + z3 + xyz − 6 :
F
0
x = 3x
2+yz, F 0
y = 3y
2+xz, F 0
z = 3z
2+xy; F 0
x(T ) = 1, F
0
y (T ) = 11, F
0
z (T ) = 5.
Potom
ρ : 1(x − 1) + 11(y − 2) + 5(z + 1) = 0.
Po ´
upravˇ
e dostaneme rovnici teˇ
cn´
e roviny ρ : x + 11y + 5z − 18 = 0.
c) T = [3, 4, −7] a ρ : 17x + 11y + 5z − 60 = 0; d) 3x4 − 4 + 4x − 4x + 1 = 0
⇒ 3x4 = 3 ⇒ x = 1 anebo x = −1 ⇒ T1 = [1, 1, 1] a ρ1 : 3x − 2y −
2z + 1 = 0 a tak´
e T2 = [−1, 1, 1] a ρ2 : 3x + 4y − 1 = 0; e) T = [2, 1, 4] a
ρ : 8x − 8y − z − 4 = 0.
Pˇ
r´ıklad 4.0.14. Najdˇ
ete vˇ
sechny parci´
aln´ı derivace druh´
eho ˇ
r´
adu funkce f podle jednot-
liv´
ych promˇ
enn´
ych
a) f (x, y) = x ey
b) f (x, y) = x + y +
xy
x−y
c) f (x, y) = xy + cos(x − y)
d) f (x, y) = ln(x2 + y2)
e) f (x, y, z) = xyz − 3x + 7y + 5z