Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
h) z0
x =
1
√
x2+y2
, z0
y =
y
x2+y2+x
√
x2+y2
.
Pˇ
r´ıklad 4.0.4. Dokaˇ
zte, ˇ
ze funkce z = e
x
y2
vyhovuje rovnici 2x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= 0.
ˇ
Reˇsen´ı:
∂z
∂x
= e
x
y2
1
y2
;
∂z
∂y
= e
x
y2
−2x
y3
.
Dosad´ıme do rovnice:
2x e
x
y2
1
y2
−
2xy
y3
e
x
y2
= e
x
y2
2x
y2
−
2x
y2
= 0.
Pˇ
r´ıklad 4.0.5. Dokaˇ
zte, ˇ
ze funkce z = ln(
√
x +
√
y) vyhovuje rovnici x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
=
1
2
.
Pˇ
r´ıklad 4.0.6. Dokaˇ
zte, ˇ
ze funkce z = e
x
y
ln y vyhovuje rovnici x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
=
z
ln y
.
Pˇ
r´ıklad 4.0.7. Dokaˇ
zte, ˇ
ze funkce z = ln(x
2 +xy+y2) vyhovuje rovnici x
∂z
∂x
+y
∂z
∂y
= 2.
Pˇ
r´ıklad 4.0.8. Najdˇ
ete parci´
aln´ı derivace funkce u podle jednotliv´
ych promˇ
enn´
ych
a) u = x2y2 − yz2 − 4xy + 6xz
b) u = zex
3 cos(x−y2)
c) u = e
sin (z−2xy)
d) u = arctg (
x − y
z
)
e) u = ln
y
√
x2 + z2
f ) u = 2x
3 − y2w − z2w2 + 5yzw
ˇ
Reˇsen´ı:
a) u0
x = 2xy
2 − 4y + 6z, u0
y = 2x
2y − z2 − 4x, u0
z = −2yz + 6x;
b) u0
x = x
2z ex
3 cos(x−y2)[3 cos(x − y2) − x sin(x − y2)], u0
z = e
x3 cos(x−y2),
u0
y = 2x
3yz sin(x − y2) ex
3 cos(x−y2);
c) u0
x = −2y e
sin(z−2xy) cos(z − 2xy),
u0
y = −2x e
sin(z−2xy) cos(z − 2xy), u0
z = e
sin(z−2xy) cos(z − 2xy);
d) u0
x =
z
x2+y2+z2−2xy ,
u0
y = −
z
x2+y2+z2−2xy ,
u0
z =
y−x
x2+y2+z2−2xy ;
e) u0
x = −
x
x2+z2 ,
u0
y =
1
y , u
0
z = −
z
x2+z2 ;
f) u0
x = 6x
2, u0
y = −2yw + 5zw, u
0
z = −2zw
2 + 5yw,
u0
w = −y
2 − 2z2w + 5yz.
54
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
Pˇ
r´ıklad 4.0.9. Dokaˇ
zte, ˇ
ze funkce u = x +
x − y
y − z
vyhovuje rovnici
∂u
∂x
+
∂u
∂y
+
∂u
∂z
= 1.
Pˇ
r´ıklad 4.0.10. Najdˇ
ete parci´
aln´ı derivace funkce f v bodˇ