Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

2 + . . .

konverguje absolutnˇ

e pro vˇsechna x ∈ (x0 − r, x0 + r) a diverguje pro vˇsechna

x ∈ (−∞, x0 − r) ∪ (x0 + r, ∞).

Vzorec pro v´

ypoˇ

cet polomˇ

eru konvergence mocninn´

e ˇ

rady — r =

1

lim

n→∞

sup

n

p|a

n|

.

Pozn´

amka. Ve vzorci na v´

ypoˇ

cet polomˇ

eru konvergence mocninn´

e ˇrady je horn´ı limita,

limsup, kter´

a se d´

a nahradit obyˇ

cejnou limitou v pˇr´ıpadˇ

e, ˇ

ze existuje

lim

n→∞

n

p|a

n|.

Pozn´

amka. Pokud

lim

n→∞

sup

n

p|a

n| = ∞, mocninn´

a ˇrada konverguje pouze v bodˇ

e x0.

Pokud

lim

n→∞

sup

n

p|a

n| = 0, mocninn´

a ˇrada konverguje pro kaˇ

zd´

e x ∈ R.

MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´

uloh

49

Pˇ

r´ıklad 3.3.1. Mocninn´

a ˇ

rada

∞

X

n=0

an (x + 3)

n m´a polomˇer konvergence 2. Rozhodnˇete

o konvergenci ˇ

rady v bodech x = 0, x = −1, x = −2, x = −3, x = −6.

ˇ

Reˇsen´ı:

Stˇred ˇrady je -3 a polomˇ

er 2. Potom ˇrada konvedguje na mnoˇ

zinˇ

e

(−3 − 2, −3 + 2) = (−5, −1). Body x = −2 a x = −3 leˇ

z´ı unvitˇr tohoto

intervalu, a proto ˇrada konverguje v bodech x = −2 a x = −3.

Bod x = −1 leˇ

z´ı na hranici intervalu, a proto o konvergenci v tomto bodˇ

e bez

znalosti koeficient˚

u an nelze rozhodnout.

Body x = 0 a x = −6 leˇ

z´ı mimo interval h−5, −1i, mimo obor konvergence,

proto ˇrada diverguje v bodech x = 0 a x = −6.

Pˇ

r´ıklad 3.3.2. Je d´

ana mocninn´

a ˇ

rada

∞

X

n=0

an (x − 1)

n . V´ıme, ˇze ˇrada konverguje pro

x = 3 a diverguje pro x = 4. Rozhodnˇ

ete o konvergenci ˇ

rady v bodech x = −3,

x = 0,

x = 1, x = 2 a x = 5.

ˇ

Reˇsen´ı:

ˇ

Rada konverguje na (1 − r, 1 + r). V´ıme, ˇ

ze bod x = 3 leˇ