Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2 + . . .
konverguje absolutnˇ
e pro vˇsechna x ∈ (x0 − r, x0 + r) a diverguje pro vˇsechna
x ∈ (−∞, x0 − r) ∪ (x0 + r, ∞).
Vzorec pro v´
ypoˇ
cet polomˇ
eru konvergence mocninn´
e ˇ
rady — r =
1
lim
n→∞
sup
n
p|a
n|
.
Pozn´
amka. Ve vzorci na v´
ypoˇ
cet polomˇ
eru konvergence mocninn´
e ˇrady je horn´ı limita,
limsup, kter´
a se d´
a nahradit obyˇ
cejnou limitou v pˇr´ıpadˇ
e, ˇ
ze existuje
lim
n→∞
n
p|a
n|.
Pozn´
amka. Pokud
lim
n→∞
sup
n
p|a
n| = ∞, mocninn´
a ˇrada konverguje pouze v bodˇ
e x0.
Pokud
lim
n→∞
sup
n
p|a
n| = 0, mocninn´
a ˇrada konverguje pro kaˇ
zd´
e x ∈ R.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
49
Pˇ
r´ıklad 3.3.1. Mocninn´
a ˇ
rada
∞
X
n=0
an (x + 3)
n m´a polomˇer konvergence 2. Rozhodnˇete
o konvergenci ˇ
rady v bodech x = 0, x = −1, x = −2, x = −3, x = −6.
ˇ
Reˇsen´ı:
Stˇred ˇrady je -3 a polomˇ
er 2. Potom ˇrada konvedguje na mnoˇ
zinˇ
e
(−3 − 2, −3 + 2) = (−5, −1). Body x = −2 a x = −3 leˇ
z´ı unvitˇr tohoto
intervalu, a proto ˇrada konverguje v bodech x = −2 a x = −3.
Bod x = −1 leˇ
z´ı na hranici intervalu, a proto o konvergenci v tomto bodˇ
e bez
znalosti koeficient˚
u an nelze rozhodnout.
Body x = 0 a x = −6 leˇ
z´ı mimo interval h−5, −1i, mimo obor konvergence,
proto ˇrada diverguje v bodech x = 0 a x = −6.
Pˇ
r´ıklad 3.3.2. Je d´
ana mocninn´
a ˇ
rada
∞
X
n=0
an (x − 1)
n . V´ıme, ˇze ˇrada konverguje pro
x = 3 a diverguje pro x = 4. Rozhodnˇ
ete o konvergenci ˇ
rady v bodech x = −3,
x = 0,
x = 1, x = 2 a x = 5.
ˇ
Reˇsen´ı:
ˇ
Rada konverguje na (1 − r, 1 + r). V´ıme, ˇ
ze bod x = 3 leˇ