Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
3.2
Konvergence ˇ
c´ıseln´
e ˇ
rady
Absolutn´ı konvergence — ˇ
C´ıseln´
a ˇrada
∞
X
n=1
an konverguje absolutnˇe, pokud je kon-
vergentn´ı ˇrada
∞
X
n=1
|an|.
Neabsolutn´ı konvergence — ˇ
Rada
∞
X
n=1
an konverguje, ale ˇrada
∞
X
n=1
|an| diverguje.
Nutn´
a podm´ınka konvergence ˇ
c´ıseln´
e ˇ
rady — Je-li
∞
X
n=1
an konvergentn´ı, potom je
nutnˇ
e lim
n→∞
an = 0.
ˇ
Rada s nez´
aporn´
ymi ˇ
cleny — ˇrada
∞
X
n=1
an, kde an ≥ 0 pro kaˇzd´e n ∈ N.
Pod´ılov´
e krit´
erium konvergence ˇ
rady s nez´
aporn´
ymi ˇ
cleny —
Je-li lim
n→∞
an+1
an
< 1, potom ˇrada
∞
X
n=1
an s nez´
aporn´
ymi ˇ
cleny konverguje.
Je-li lim
n→∞
an+1
an
> 1, potom ˇrada
∞
X
n=1
an s nez´
aporn´
ymi ˇ
cleny diverguje.
Odmocninov´
e krit´
erium konvergence ˇ
rady s nez´
aporn´
ymi ˇ
cleny —
Je-li lim
n→∞
n
√
an < 1, potom ˇrada
∞
X
n=1
an s nez´
aporn´
ymi ˇ
cleny konverguje.
Je-li lim
n→∞
n
√
an > 1, potom ˇrada
∞
X
n=1
an s nez´
aporn´
ymi ˇ
cleny diverguje.
Integr´
aln´ı krit´
erium konvergence ˇ
rady s nez´
aporn´
ymi ˇ
cleny —
Funkce f (x), x ∈ h1, ∞) je nez´
aporn´
a a nerostouc´ı a nav´ıc f (n) = an, n ∈ N. Po-
tom ˇrada
∞
X
n=1
an konverguje, pravˇe kdyˇz konverguje nevlastn´ı integr´
al
Z
∞
1
f (x) dx.
Srovn´
avac´ı krit´
erium — Necht’ an, bn ∈ R a 0 ≤ an ≤ bn pro vˇsechna n ≥ n0.
Je-li konvergentn´ı ˇrada
∞
X
n=1
bn, potom je konvergentn´ı i ˇrada
∞
X
n=1
an.
Je-li divergentn´ı ˇrada
∞
X
n=1
an, potom je divergentn´ı i ˇrada
∞
X
n=1
bn.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
45
Alternuj´ıc´ı ˇ
rada — ˇrada
∞
X
n=1
(−1)
n−1a
n,
kde an > 0 pro vˇsechna n ∈ N.
Leibnitzovo krit´
erium konvergence alternuj´ıc´ı ˇ
rady —
ˇ
Rada
∞
X
n=1
(−1)
n−1a
n
je konvergentn´ı, pokud je posloupnost
an
∞
n=1
klesaj´ıc´ı a lim
n→∞
an = 0.
Pˇ
r´ıklad 3.2.1. Vyˇ