Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
A→∞
Z
A
1
1
x2 + x
dx =
= lim
A→∞
Z
A
1
1
x
−
1
x + 1
dx = lim
A→∞
h
ln |x|−ln |x+1|
iA
1
= lim
A→∞
h
ln
x
x + 1
iA
1
=
= lim
A→∞
ln
A
A + 1
− ln
1
2
= ln 1 − ln 2
−1 = ln 2 < ∞ ⇒ ˇrada konverguje.
d) f (x) =
1
x2 + 16
. Potom
Z
∞
1
f (x) dx =
Z
∞
1
1
x2 + 16
dx = lim
A→∞
Z
A
1
1
x2 + 16
dx =
= lim
A→∞
h
1
4
arctg
x
4
iA
1
= lim
A→∞
1
4
arctg
A
4
− arctg
1
4
=
1
4
π
2
− arctg
1
4
< ∞
⇒ ˇrada konverguje.
e) f (x) =
1
x
. Potom
Z
∞
1
f (x) dx =
Z
∞
1
1
x
dx = lim
A→∞
Z
A
1
1
x
dx = lim
A→∞
h
ln |x|
iA
1
=
= lim
A→∞
ln A − ln 1 = ∞ ⇒ ˇrada diverguje.
Pˇ
r´ıklad 3.2.3. Pomoc´ı srovn´
avac´ıho krit´
eria rozhodnˇ
ete o konvergenci n´
asleduj´ıc´ıch ˇ
rad:
a)
∞
X
n=1
1
√
n
b)
∞
X
n=1
1
nn
c)
∞
X
n=1
1
ln n
d)
∞
X
n=1
1
(n + 1)3n
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Plat´ı, ˇ
ze
√
n ≤ n, n = 1, 2, . . . , takˇ
ze
1
√
n
≥
1
n
, n = 1, 2, . . . .
V´ıme, ˇ
ze ˇrada
∞
X
n=1
1
n
je divergentn´ı, tedy i ˇrada
∞
X
n=1
1
√
n
diverguje.
b) n
n ≥ 2n, n = 2, 3, . . . ⇒
1
2n
≥
1
nn
, n = 2, 3 . . . . ˇ
Rada
∞
X
n=1
1
2n
je konver-
gentn´ı geometrick´
a ˇrada, tud´ıˇ
z je i ˇrada
∞
X
n=1
1
nn
konvergentn´ı.
c) ln n ≤ n ⇒
1
ln n
≥
1
n
, n = 1, 2, . . . ⇒ ˇrada
∞
X
n=1
1
ln n
diverguje.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
47
d) (n + 1)3
n ≥ 3n, n = 1, 2, . . . ⇒
1
3n
≥
1
(n + 1)3n
, n = 1, 2 . . . .
ˇ
Rada
∞
X
n=1
1
3n
konverguje, tedy konverguje i ˇrada
∞
X
n=1
1
(n + 1)3n
.
Pˇ
r´ıklad 3.2.4. Rozhodnˇ
ete o konvergenci n´
asleduj´ıc´ıch alternuj´ıc´ıch ˇ
rad:
a)
∞
X
n=1
(−1)
n 1
n
b)
∞
X
n=1
(−1)
n
3n
9n − 5
c)
∞
X
n=1
(−1)
n
1
(n + 4)2
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Posloupnost
1
n
∞
n=1
je klesaj´ıc´ı a
lim
n→∞
1
n
= 0.
Podle Leibnitzova krit´
eria ˇrada
∞
X
n=1
(−1)
n 1
n
konverguje.
b) Posloupnost
3n
9n − 5
∞