Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (501.86 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

A→∞

Z

A

1

1

x2 + x

dx =

= lim

A→∞

Z

A

1

 1

x

1

x + 1

dx = lim

A→∞

h

ln |x|−ln |x+1|

iA

1

= lim

A→∞

h

ln

x

x + 1

iA

1

=

= lim

A→∞

ln

A

A + 1

− ln

1

2

= ln 1 − ln 2

−1 = ln 2 < ∞ ⇒ ˇrada konverguje.

d) f (x) =

1

x2 + 16

. Potom

Z

1

f (x) dx =

Z

1

1

x2 + 16

dx = lim

A→∞

Z

A

1

1

x2 + 16

dx =

= lim

A→∞

h

1

4

arctg

x

4

iA

1

= lim

A→∞

1

4

arctg

A

4

− arctg

1

4

=

1

4

 π

2

− arctg

1

4

< ∞

⇒ ˇrada konverguje.

e) f (x) =

1

x

. Potom

Z

1

f (x) dx =

Z

1

1

x

dx = lim

A→∞

Z

A

1

1

x

dx = lim

A→∞

h

ln |x|

iA

1

=

= lim

A→∞

ln A − ln 1 = ∞ ⇒ ˇrada diverguje.

r´ıklad 3.2.3. Pomoc´ı srovn´

avac´ıho krit´

eria rozhodnˇ

ete o konvergenci n´

asleduj´ıc´ıch ˇ

rad:

a)

X

n=1

1

n

b)

X

n=1

1

nn

c)

X

n=1

1

ln n

d)

X

n=1

1

(n + 1)3n

ˇ

Reˇsen´ı:

a) Plat´ı, ˇ

ze

n ≤ n, n = 1, 2, . . . , takˇ

ze

1

n

1

n

, n = 1, 2, . . . .

V´ıme, ˇ

ze ˇrada

X

n=1

1

n

je divergentn´ı, tedy i ˇrada

X

n=1

1

n

diverguje.

b) n

n ≥ 2n, n = 2, 3, . . . ⇒

1

2n

1

nn

, n = 2, 3 . . . . ˇ

Rada

X

n=1

1

2n

je konver-

gentn´ı geometrick´

a ˇrada, tud´ıˇ

z je i ˇrada

X

n=1

1

nn

konvergentn´ı.

c) ln n ≤ n ⇒

1

ln n

1

n

, n = 1, 2, . . . ⇒ ˇrada

X

n=1

1

ln n

diverguje.

MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´

uloh

47

d) (n + 1)3

n ≥ 3n, n = 1, 2, . . . ⇒

1

3n

1

(n + 1)3n

, n = 1, 2 . . . .

ˇ

Rada

X

n=1

1

3n

konverguje, tedy konverguje i ˇrada

X

n=1

1

(n + 1)3n

.

r´ıklad 3.2.4. Rozhodnˇ

ete o konvergenci n´

asleduj´ıc´ıch alternuj´ıc´ıch ˇ

rad:

a)

X

n=1

(−1)

n 1

n

b)

X

n=1

(−1)

n

3n

9n − 5

c)

X

n=1

(−1)

n

1

(n + 4)2

ˇ

Reˇsen´ı:

a) Posloupnost

1

n

n=1

je klesaj´ıc´ı a

lim

n→∞

1

n

= 0.

Podle Leibnitzova krit´

eria ˇrada

X

n=1

(−1)

n 1

n

konverguje.

b) Posloupnost

3n

9n − 5

Témata, do kterých materiál patří