Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
+ lim
t→2+
ln 1 − ln |t − 2|
=
= lim
t→2−
ln |t − 2| + lim
t→2+
− ln |t − 2|
Obˇ
e limity jsou nevlastn´ı, a proto integr´
al diverguje.
Pˇ
r´ıklad 2.4.5. Vypoˇ
c´ıtejte n´
asleduj´ıc´ı nevlastn´ı integr´
aly:
a)
Z
∞
1
1
√
x
dx
b)
Z
1
0
1
√
x
dx
c)
Z
0
−∞
1
x2 + 4
dx
d)
Z
0
−∞
x e
2x dx
e)
Z
1
−1
1
x2
dx
ˇ
Reˇsen´ı:
a) diverguje;
b) 2;
c)
π
4
;
d) −
1
4
;
e) diverguje.
Pˇ
r´ıklad 2.4.6. Proud v elektrick´
em obvodu je d´
an vztahem i(t) = t e
−4t. Urˇcete celkov´y
n´
aboj Q =
Z
∞
0
i(t) dt.
ˇ
Reˇsen´ı:
Q =
1
16
.
42
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
3
ˇ
Rady
3.1
Nekoneˇ
cn´
a geometrick´
a ˇ
rada
Nekoneˇ
cn´
a posloupnost — funkce, jej´ımˇ
z definiˇ
cn´ım oborem je mnoˇ
zina pˇrirozen´
ych
ˇ
c´ısel N.
Nekoneˇ
cn´
a ˇ
rada — souˇ
cet
∞
X
n=1
an, kde
an
∞
n=1
je nekoneˇ
cn´
a posloupnost.
Konvergentn´ı ˇ
rada — ˇrada
∞
X
n=1
an takov´
a, ˇ
ze
lim
n→∞
n
X
k=1
ak = S ∈ R.
Jin´
ymi slovy souˇ
cet konvergentn´ı ˇrady je koneˇ
cn´
y. P´ıˇseme
∞
X
n=1
an = S.
Divergentn´ı ˇ
rada — ˇrada
∞
X
n=1
an, pro kterou souˇcet S = lim
n→∞
n
X
k=1
ak neexistuje nebo
je nekoneˇ
cn´
y.
Geometrick´
a posloupnost — posloupnost
an
∞
n=1
takov´
a, ˇ
ze an = a1 · q
n−1, pro
kaˇ
zd´
e n ∈ N a re´aln´e ˇc´ıslo q 6= 0, kter´e se naz´yv´a kvocient geometrick´e posloupnosti.
V geometrick´
e posloupnosti plat´ı, ˇ
ze
an+1
an
= q pro kaˇ
zd´
e n ∈ N.
Souˇ
cet prvn´ıch n ˇ
clen˚
u geometrick´
e posloupnosti — a) pro q = 1 je Sn = n · a1.
b) pro q 6= 1 je Sn = a1
qn − 1
q − 1
.
Geometrick´
a ˇ
rada — ˇrada vytvoˇren´
a z geometrick´
e posloupnosti, tedy
∞
X
n=1
a1 · q
n−1.
Souˇ
cet konvergentn´ı geometrick´
e ˇ
rady — geometrick´
a ˇrada s kvocientem q, |q| < 1,
je konvergentn´ı a plat´ı:
∞
X
n=1
a1 · q
n−1 =
a1
1 − q