Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2 + 3
4
dx =
= 2
√
3 arctg
2x − 3
√
3
+ C.
Pˇ
r´ıklad 2.2.5. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
aly z racion´
aln´ı lomen´
e funkce:
a)
Z
4x − 3
x2 + x − 6
dx
b)
Z
13 x2
(x2 + 4)(x − 3)
dx
c)
Z
x − 10
x3 − 4x2 + 5x
dx
d)
Z
4x − 9
x3 + 6x2 + 9x
dx
e)
Z
4 − 3x
x5 + x3
dx
f)
Z
x3 + 5
x2 − 3x + 2
dx
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
Z
4x − 3
x2 + x − 6
dx =
Z
1
x − 2
+
3
x + 3
dx = ln |x−2|+3 ln |x+3|+C;
b)
Z
13 x2
(x2 + 4)(x − 3)
dx =
Z
9
x − 3
+
4x + 12
x2 + 4
dx = 9
Z
1
x − 3
dx+2
Z
2x
x2 + 4
dx+
+12
Z
1
x2 + 4
dx = 9 ln |x − 3| + 2 ln |x
2 + 4| + 6 arctg
x
2
+ C;
c)
Z
x − 10
x3 − 4x2 + 5x
dx =
Z
4x − 7
x2 − 4x + 5
−
2
x
dx = 2
Z
2x − 4
x2 − 4x + 5
dx+
+
Z
1
x2 − 4x + 5
dx − 2 ln |x| = 2 ln
x
2 − 4x + 5
− 2 ln |x| + arctg (x − 2) + C;
d)
Z
4x − 9
x3 + 6x2 + 9x
dx =
Z
1
x + 3
+
7
(x + 3)2
−
1
x
dx = ln
x + 3
x
−
7
x + 3
+ C;
e)
Z
4 − 3x
x5 + x3
dx =
Z
4
x3
−
3
x2
−
4
x
+
4x + 3
x2 + 1
dx = −
2
x2
+
3
x
−4 ln |x|+2 ln(x
2+4)+
+3 arctg x + C;
f)
Z
x3 + 5
x2 − 3x + 2
dx =
Z
x + 3 +
13
x − 2
−
6
x − 1
dx =
x2
2
+ 3x + 13 ln |x − 2|−
−6 ln |x − 1| + C.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
35
2.3
Urˇ
cit´
y integr´
al
Newton – Leibnitz˚
uv vzorec — necht’ F 0(x) = f (x), x ∈ ha, bi. Potom
Z
b
a
f (x) dx =
h
F (x)
ib
a
= F (b) − F (a).
Per partes pro urˇ
cit´
y integr´
al —
Z
b
a
u
0(x) v(x) dx =
h
u(x) v(x)
ib
a
−
Z
b
a
u(x) v
0(x) dx.
Substituce pro urˇ
cit´
y integr´
al —
Z
b
a
f (ϕ(x)) ϕ
0(x) dx =
Z
ϕ(b)
ϕ(a)
f (t) dt kde t = ϕ(x).
Linearita urˇ
cit´
eho integr´
alu — funkce f, g spojit´
e na < a, b > a M, N ∈ R, potom