Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

cet parci´

aln´ıch

zlomk˚

u.

Pozn´

amka. Integr´

al z ryze racion´

aln´ı lomen´

e funkce poˇ

c´ıt´

ame tak, ˇ

ze racion´

aln´ı lomenou

funkci nejdˇr´ıve rozloˇ

z´ıme na parci´

aln´ı zlomky a ty postupnˇ

e integrujeme.

Pˇ

r´ıklad 2.2.1. Rozloˇ

zte funkci f (x) na souˇ

cet polynomu a ryze racin´

aln´ı lomen´

e funkce:

a) f (x) =

3x3 + x

x2 + 3x + 5

b) f (x) =

5x2 − 2x

x2 − 4x + 2

c) f (x) =

4x3 + x + 1

2x + 1

ˇ

Reˇsen´ı:

a) Vypoˇ

c´ıt´

ame (3x3 + x) : (x2 + 3x + 5) = 3x − 9 zbytek 13x + 45.

Potom f (x) =

3x3 + x

x2 + 3x + 5

= 3x − 9 +

13x + 45

x2 + 3x + 5

.

b) (5x2−2x) : (x2−4x+2) = 5 zbytek 18x−10. Potom f (x) = 5 +

18x − 10

x2 − 4x + 2

.

c) f (x) =

4x3 + x + 1

2x + 1

= 2x

2 − x + 1.

Pˇ

r´ıklad 2.2.2. Rozloˇ

zte ryze racion´

aln´ı lomen´

e funkce na parci´

aln´ı zlomky:

a) f (x) =

x + 3

x2 + 3x + 2

b) f (x) =

8

x2 + 2x − 3

c) f (x) =

2x

x2 − 4

d) f (x) =

x2 − 3x − 1

x3 + 2x2 + x

e) f (x) =

4x3 − 4x2 + x + 1

x2(x − 1)2

f) f (x) =

x2 − 3

x4 + x3

g) f (x) =

x + 1

(x − 2)(x2 + 1)

h) f (x) =

2x2 − 4

x3 + 4x2 + 2x

j) f (x) =

4x − 3

x2(x2 + 4)

MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´

uloh

31

ˇ

Reˇsen´ı:

a) Rozloˇ

z´ıme jmenovatel na souˇ

cin x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1).

Dostali jsme dva ˇ

cinitele, ke kaˇ

zd´

emu z nich pˇriˇrad´ıme jeden parci´

aln´ı zlomek.

f (x) =

x + 3

x2 + 3x + 2

=

x + 3

(x + 2)(x + 1)

=

A

x + 2

+

B

x + 1

Ted’ zb´

yv´

a vypoˇ

c´ıtat konstanty A a B. Upravujeme rovnici tak, ˇ

ze nejdˇr´ıv se

zbav´ıme zlomku, potom rozn´

asob´ıme a seˇ

cteme pravou stranu.