Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
cet parci´
aln´ıch
zlomk˚
u.
Pozn´
amka. Integr´
al z ryze racion´
aln´ı lomen´
e funkce poˇ
c´ıt´
ame tak, ˇ
ze racion´
aln´ı lomenou
funkci nejdˇr´ıve rozloˇ
z´ıme na parci´
aln´ı zlomky a ty postupnˇ
e integrujeme.
Pˇ
r´ıklad 2.2.1. Rozloˇ
zte funkci f (x) na souˇ
cet polynomu a ryze racin´
aln´ı lomen´
e funkce:
a) f (x) =
3x3 + x
x2 + 3x + 5
b) f (x) =
5x2 − 2x
x2 − 4x + 2
c) f (x) =
4x3 + x + 1
2x + 1
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Vypoˇ
c´ıt´
ame (3x3 + x) : (x2 + 3x + 5) = 3x − 9 zbytek 13x + 45.
Potom f (x) =
3x3 + x
x2 + 3x + 5
= 3x − 9 +
13x + 45
x2 + 3x + 5
.
b) (5x2−2x) : (x2−4x+2) = 5 zbytek 18x−10. Potom f (x) = 5 +
18x − 10
x2 − 4x + 2
.
c) f (x) =
4x3 + x + 1
2x + 1
= 2x
2 − x + 1.
Pˇ
r´ıklad 2.2.2. Rozloˇ
zte ryze racion´
aln´ı lomen´
e funkce na parci´
aln´ı zlomky:
a) f (x) =
x + 3
x2 + 3x + 2
b) f (x) =
8
x2 + 2x − 3
c) f (x) =
2x
x2 − 4
d) f (x) =
x2 − 3x − 1
x3 + 2x2 + x
e) f (x) =
4x3 − 4x2 + x + 1
x2(x − 1)2
f) f (x) =
x2 − 3
x4 + x3
g) f (x) =
x + 1
(x − 2)(x2 + 1)
h) f (x) =
2x2 − 4
x3 + 4x2 + 2x
j) f (x) =
4x − 3
x2(x2 + 4)
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
31
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Rozloˇ
z´ıme jmenovatel na souˇ
cin x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1).
Dostali jsme dva ˇ
cinitele, ke kaˇ
zd´
emu z nich pˇriˇrad´ıme jeden parci´
aln´ı zlomek.
f (x) =
x + 3
x2 + 3x + 2
=
x + 3
(x + 2)(x + 1)
=
A
x + 2
+
B
x + 1
Ted’ zb´
yv´
a vypoˇ
c´ıtat konstanty A a B. Upravujeme rovnici tak, ˇ
ze nejdˇr´ıv se
zbav´ıme zlomku, potom rozn´
asob´ıme a seˇ
cteme pravou stranu.