Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2 − 4x) sin x + (2x − 4) cos x + C.
28
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
Pˇ
r´ıklad 2.1.4. Pouˇ
zijte substituˇ
cn´ı metodu na v´
ypoˇ
cet
Z
f (x) dx, kde
a) f (x) = e
2x
b) f (x) = sin(5 − 3x)
c) f (x) = 4
√
2x + 3
d) f (x) = 2x e
x2+4
e) f (x) =
sin x
cos2 x + 9
f) f (x) =
3
√
ln x
x
g) f (x) = e
x sin ex
h) f (x) =
1
x(1 + ln
2 x)
j) f (x) =
cos 2x
p
1 − sin
2 2x
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
Z
e
2x dx =
2x = t
2 dx = dt
dx =
1
2 dt
=
Z
e
t 1
2
dt =
1
2
e
t + C =
1
2
e
2x + C.
b)
Z
sin(5 − 3x) dx =
5 − 3x = t
−3 dx = dt
dx = −
1
3 dt
=
Z
sin t
−
1
3
dt
=
1
3
cos t + C =
=
1
3
cos(5 − 3x) + C.
c)
Z
4
√
2x + 3 dx =
2x + 3 = t
2 dx = dt
dx =
1
2 dt
=
Z
4
√
t
1
2
dt = 2
Z
t
1
2
dt = 2
t
3
2
3
2
=
=
4
3
√
t3 + C =
4
3
p
(2x + 3)3 + C.
d)
Z
2x e
x2+4 dx =
x2 + 4 = t
2x dx = dt
=
Z
e
t dt = et + C = ex
2+4 + C.
e)
Z
sin x
cos2 x + 9
dx =
cos x = t
− sin x dx = dt
sin x dx = − dt
=
Z
−1
t2 + 9
dt = −
Z
1
t2 + 32
dt =
= −
1
3
arctg
t
3
+ C = −
1
3
arctg
cos x
3
+ C.
f)
Z
3
√
ln x
x
dx =
ln x = t
1
x dx = dt
=
Z
3
√
t dt =
3
4
3
√
t4 + C =
3
4
3
p
ln
4 x + C.
g)
Z
e
x sin ex dx =
ex = t
ex dx = dt
=
Z
sin t dt = − cos t + C = − cos e
x + C.
h)
Z
1
x(1 + ln
2 x)
dx =
ln x = t
1
x dx = dt
=
Z
1
1 + t2
dt = arctg t+C = arctg ln x + C.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
29
j)
Z
cos 2x
p
1 − sin
2 2x
dx =
sin 2x = t
2 cos 2x dx = dt
cos 2x dx =
1
2 dt
=
1
2
Z
1
√
1 − t2
dt =
1
2
arcsin (sin 2x) + C.
Pˇ
r´ıklad 2.1.5. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
Z
6 x
2 arcsin x3 dx.