Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
x
= ∞,
lim
x→0+
1
ex − 1
= ∞
⇒ m´
ame typ limity ∞ − ∞.
Uprav´ıme na spoleˇ
cn´
eho jmenovatele, dostaneme limitu typu
0
0
a pouˇ
zijeme
l´Hospitalovo pravidlo.
lim
x→0+
1
x
−
1
ex − 1
= lim
x→0+
ex − 1 − x
x(ex − 1)
= lim
x→0+
ex − 1
ex − 1 + xex
=
lim
x→0+
ex
ex + ex + xex
= lim
x→0+
ex
ex(1 + 1 + x)
= lim
x→0+
1
2 + x
=
1
2
.
b) −
1
2 ;
c) 0;
d)
1
2 ;
e)
1
2 ;
f)
1
5 .
Pˇ
r´ıklad 1.5.4. Vypoˇ
ctˇ
ete limity z neurˇ
cit´
eho v´
yrazu typu 0 · ∞:
a) lim
x→0+
(x ln x)
b) lim
x→∞
x
e
1
x
− 1
c) lim
x→1
(1 − x
2)
tg
π
2
x
d) lim
x→∞
x ln
4 + x
2 + x
e) lim
x→0+
(e
x − 1) cotg x
f) lim
x→∞
(x + 3) ln
1 +
3
x
ˇ
Reˇsen´ı:
a) lim
x→0+
x = 0,
lim
x→0+
ln x = −∞
⇒ m´
ame typ limity 0 · (−∞).
Chtˇ
eli bychom upravit na l´Hospitalovo pravidlo, tedy na typ
0
0
nebo ±
∞
∞
.
lim
x→0+
(x ln x) = lim
x→0+
x ln x
1
= lim
x→0+
x ln x
1
·
1
x
1
x
= lim
x→0+
ln x
1
x
Vid´ıme, ˇ
ze jsme rozˇs´ıren´ım v´
yrazem
1
x
dostali limitu typu
−∞
∞
, a m˚
uˇ
zeme
tedy pouˇ
z´ıt l´Hospitalovo pravidlo.
22
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
lim
x→0+
ln x
1
x
= lim
x→0+
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
−
x2
x
= lim
x→0+
−x = 0.
b) lim
x→∞
x
e
1
x
− 1
= lim
x→∞
x
e
1
x
− 1
1
= lim
x→∞
x
e
1
x
− 1
1
·
1
x
1
x
= lim
x→∞
e
1
x
− 1
1
x
=
lim
x→∞
e
1
x
(−
1
x2 )
− 1
x2
= lim
x→∞
e
1
x
= 1.
c) lim
x→1
(1 − x
2)
tg
π
2
x
= lim
x→1
(1 − x2) tg
π
2 x
1
·
1
tg π
2
x
1
tg π
2
x
= lim
x→1
1 − x2
cotg
π
2 x
=
lim
x→1
−2x
−
1
sin2
π
2
x
π
2
=
−2
− π
2
=
4
π
.
d) 2;
e) 1;
f) 3.
Pˇ
r´ıklad 1.5.5. Vypoˇ
ctˇ
ete limity z neurˇ
cit´
ych v´
yrazu typu
1
∞; ∞0; 00 :
a) lim
x→0+
x
x
b) lim
x→0+
(cos 2x)
1
x2
c) lim
x→0+
x
3
4+ln x
d) lim
x→∞
x
1
x
e) lim
x→0+
(sin x)
x
f) lim
x→0+
(e
x + x)
1
x
ˇ
Reˇsen´ı:
Limity v tomto pˇr´ıkladˇ
e jsou lim
x→a