Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (501.86 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

1

x

= ∞,

lim

x→0+

1

ex − 1

= ∞

⇒ m´

ame typ limity ∞ − ∞.

Uprav´ıme na spoleˇ

cn´

eho jmenovatele, dostaneme limitu typu

0

0

a pouˇ

zijeme

l´Hospitalovo pravidlo.

lim

x→0+

 1

x

1

ex − 1

= lim

x→0+

ex − 1 − x

x(ex − 1)

= lim

x→0+

ex − 1

ex − 1 + xex

=

lim

x→0+

ex

ex + ex + xex

= lim

x→0+

ex

ex(1 + 1 + x)

= lim

x→0+

1

2 + x

=

1

2

.

b) −

1
2 ;

c) 0;

d)

1
2 ;

e)

1
2 ;

f)

1
5 .

r´ıklad 1.5.4. Vypoˇ

ctˇ

ete limity z neurˇ

cit´

eho v´

yrazu typu 0 · ∞:

a) lim

x→0+

(x ln x)

b) lim

x→∞

x

e

1
x

− 1

c) lim

x→1

(1 − x

2)

tg

π

2

x

d) lim

x→∞

x ln

 4 + x

2 + x

e) lim

x→0+

(e

x − 1) cotg x

f) lim

x→∞

(x + 3) ln

1 +

3

x

ˇ

Reˇsen´ı:

a) lim

x→0+

x = 0,

lim

x→0+

ln x = −∞

⇒ m´

ame typ limity 0 · (−∞).

Chtˇ

eli bychom upravit na l´Hospitalovo pravidlo, tedy na typ

0

0

nebo ±


.

lim

x→0+

(x ln x) = lim

x→0+

x ln x

1

= lim

x→0+

x ln x

1

·

1
x
1
x

= lim

x→0+

ln x

1
x

Vid´ıme, ˇ

ze jsme rozˇs´ıren´ım v´

yrazem

1

x

dostali limitu typu

−∞

, a m˚

zeme

tedy pouˇ

z´ıt l´Hospitalovo pravidlo.

22

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

lim

x→0+

ln x

1

x

= lim

x→0+

1

x

− 1

x2

= lim

x→0+

x2

x

= lim

x→0+

−x = 0.

b) lim

x→∞

x

e

1
x

− 1

= lim

x→∞

x

e

1
x

− 1

1

= lim

x→∞

x

e

1
x

− 1

1

·

1

x

1

x

= lim

x→∞

e

1
x

− 1

1

x

=

lim

x→∞

e

1
x

(−

1

x2 )

− 1

x2

= lim

x→∞

e

1
x

= 1.

c) lim

x→1

(1 − x

2)

tg

π

2

x

= lim

x→1

(1 − x2) tg

π

2 x

1

·

1

tg π

2

x

1

tg π

2

x

= lim

x→1

1 − x2

cotg

π

2 x

=

lim

x→1

−2x

1

sin2

π

2

x

π

2

=

−2

− π

2

=

4

π

.

d) 2;

e) 1;

f) 3.

r´ıklad 1.5.5. Vypoˇ

ctˇ

ete limity z neurˇ

cit´

ych v´

yrazu typu

1

∞; ∞0; 00 :

a) lim

x→0+

x

x

b) lim

x→0+

(cos 2x)

1

x2

c) lim

x→0+

x

3

4+ln x

d) lim

x→∞

x

1
x

e) lim

x→0+

(sin x)

x

f) lim

x→0+

(e

x + x)

1
x

ˇ

Reˇsen´ı:

Limity v tomto pˇr´ıkladˇ

e jsou lim

x→a

Témata, do kterých materiál patří