Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1 + sin x
h) q(x) = ln
s
1 +
√
1 − x
1 −
√
1 − x
j) r(x) = arcsin
√
x
ˇ
Reˇsen´ı: a) f
0(x) =
1
√
x2 − 9
;
b) g
0(x) =
6x2
(1 + x6)2
;
c) h
0(x) = −
1
1 + x2
;
d) k
0(x) =
2
cos3 x
;
e) l
0(x) = arcsin x;
f) n
0(x) = cotg x;
g) p
0(x) = −
1
cos x
;
h) q
0(x) = −
1
2x
√
1 − x
;
j) q
0(x) =
1
2
√
x − x2
.
1.5
L´Hospitalovo pravidlo
L´Hospitalovo pravidlo — metoda v´
ypoˇ
ctu limit pomoc´ı derivac´ı:
1. Necht’ spojit´
e funkce f, g maj´ı v bodˇ
e x0 ∈ R funkˇcn´ı hodnoty f (x0) = g(x0) = 0
a necht’ existuje lim
x→x0
f 0(x)
g0(x)
.
Potom existuje tak´
e lim
x→x0
f (x)
g(x)
a plat´ı lim
x→x0
f 0(x)
g0(x)
= lim
x→x0
f (x)
g(x)
.
2. Necht’
lim
x→x0
f (x) = lim
x→x0
g(x) = ∞ nebo −∞ a existuje
lim
x→x0
f 0(x)
g0(x)
, potom
existuje tak´
e lim
x→x0
f (x)
g(x)
a plat´ı
lim
x→x0
f 0(x)
g0(x)
= lim
x→x0
f (x)
g(x)
.
Neurˇ
cit´
y v´
yraz — v´
yraz typu:
0
0
; ±
∞
∞
; 0 · ∞; ∞ − ∞; 1
∞; ∞0; 00
Pˇ
r´ıklad 1.5.1. Uˇ
zit´ım l´Hospitalova pravidla vypoˇ
ctˇ
ete limity funkc´ı:
a) lim
x→−1
x3 + 1
x5 − 2x − 1
b) lim
x→∞
ln x
x2 − 3x − 6
c) lim
x→0
x3
sin x − x
d) lim
x→0
sin πx
sin 4x
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Je to limita z neurˇ
cit´
eho v´
yrazu typu
0
0
, a proto m˚
uˇ
zeme pouˇ
zit
l´Hospitalovo pravidlo.
lim
x→−1
x3 + 1
x5 − 2x − 1
= lim
x→−1
(x3 + 1)0
(x5 − 2x − 1)0
= lim
x→−1
3x2
5x4 − 2
=
3
3
= 1.
20
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
b) Limita z neurˇ
cit´
eho v´
yrazu typu
∞
∞
, pouˇ
zijeme l´Hospitalovo pravidlo.
lim
x→∞
ln x
x2 − 3x − 6
= lim
x→∞
(ln x)0
(x2 − 3x − 6)0
= lim
x→∞
1
x
2x − 3
= lim
x→∞
1
2x2 − 3x
= 0.
c) Je to limita z neurˇ
cit´
eho v´
yrazu typu
0
0
, pouˇ
zijeme l´Hospitalovo pravidlo.
lim