Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (501.86 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

26

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

r´ıklad 2.1.2. Vypoˇ

ctˇ

ete integr´

aly:

a)

Z

dx

sin

2 x cos2 x

b)

Z

tg x

sin 2x

dx

c)

Z

x + 1

x

dx

d)

Z

3 + 5x

x2 + 9

dx

ˇ

Reˇsen´ı:

a) Funkci, kterou chceme integrovat, nejdˇr´ıve uprav´ıme. Vyuˇ

zijeme

vztah sin

2 x + cos2 x = 1.

Z

dx

sin

2 x cos2 x

=

Z

sin

2 x + cos2 x

sin

2 x cos2 x

dx =

Z

sin

2 x

sin

2 x cos2 x

dx+

Z

cos2 x

sin

2 x cos2 x

dx

=

Z

1

cos2 x

dx +

Z

1

sin

2 x

dx = tg x − cotg x + C.

b) Vyuˇ

zijeme vztahy tg x =

sin x

cos x

a sin 2x = 2 sin x cos x.

Z

tg x

sin 2x

dx =

Z

sin x

cos x

2 sin x cos x

dx =

Z

sin x

2 sin x cos2 x

dx =

Z

1

2 cos2 x

dx =

=

1

2

Z

1

cos2 x

dx =

1

2

tg x + C.

c) Uprav´ıme:

Z

x + 1

x

dx =

Z

x

x

dx+

Z

1

x

dx =

Z

x dx+

Z

1

x

dx =

Z

x

1
2

dx +

Z

x

− 1

2

dx =

2

3

x

3
2

+ 2x

1
2

+ C =

2

3

x3 + 2

x + C.

d) Uprav´ıme na dva zlomky a kaˇ

zd´

y zlomek integrujeme zvl´

aˇst’:

Z

3 + 5x

x2 + 9

dx =

Z

3

x2 + 9

dx+

Z

5x

x2 + 9

dx = 3

Z

1

x2 + 32

dx+

5

2

Z

2x

x2 + 9

dx

= 3 ·

1

3

arctg

x

3

+

5

2

ln |x

2 + 9| + C = arctg

x

3

+

5

2

ln(x

2 + 9) + C.

r´ıklad 2.1.3. Metodou per partes vypoˇ

ctˇ

ete

Z

f (x) dx funkce

a) f (x) = (6x − 3) e

x

b) f (x) = x cos x

c) f (x) = x

2 ln x

d) f (x) = ln x

e) f (x) = arctg x

f) f (x) = ln(x

2 + 1)

g) f (x) = (x

2 + 1) ex

h) f (x) = (3x

2 − 4) sin x

j) f (x) = (x

2 − 4x + 2) cos x

ˇ

Reˇsen´ı:

a)

Z

(6x − 3) e

x dx =

u0 = ex

u = ex

v = 6x − 3

v0 = 6

=

= (6x − 3) e

x −

Z

6 e

x dx = (6x − 3) ex − 6 ex + C = (6x − 9) ex + C.

MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´

uloh

27

b)

Z

x cos x dx =

u0 = cos x

Témata, do kterých materiál patří