Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
26
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
Pˇ
r´ıklad 2.1.2. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
aly:
a)
Z
dx
sin
2 x cos2 x
b)
Z
tg x
sin 2x
dx
c)
Z
x + 1
√
x
dx
d)
Z
3 + 5x
x2 + 9
dx
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Funkci, kterou chceme integrovat, nejdˇr´ıve uprav´ıme. Vyuˇ
zijeme
vztah sin
2 x + cos2 x = 1.
Z
dx
sin
2 x cos2 x
=
Z
sin
2 x + cos2 x
sin
2 x cos2 x
dx =
Z
sin
2 x
sin
2 x cos2 x
dx+
Z
cos2 x
sin
2 x cos2 x
dx
=
Z
1
cos2 x
dx +
Z
1
sin
2 x
dx = tg x − cotg x + C.
b) Vyuˇ
zijeme vztahy tg x =
sin x
cos x
a sin 2x = 2 sin x cos x.
Z
tg x
sin 2x
dx =
Z
sin x
cos x
2 sin x cos x
dx =
Z
sin x
2 sin x cos2 x
dx =
Z
1
2 cos2 x
dx =
=
1
2
Z
1
cos2 x
dx =
1
2
tg x + C.
c) Uprav´ıme:
Z
x + 1
√
x
dx =
Z
x
√
x
dx+
Z
1
√
x
dx =
Z
√
x dx+
Z
1
√
x
dx =
Z
x
1
2
dx +
Z
x
− 1
2
dx =
2
3
x
3
2
+ 2x
1
2
+ C =
2
3
√
x3 + 2
√
x + C.
d) Uprav´ıme na dva zlomky a kaˇ
zd´
y zlomek integrujeme zvl´
aˇst’:
Z
3 + 5x
x2 + 9
dx =
Z
3
x2 + 9
dx+
Z
5x
x2 + 9
dx = 3
Z
1
x2 + 32
dx+
5
2
Z
2x
x2 + 9
dx
= 3 ·
1
3
arctg
x
3
+
5
2
ln |x
2 + 9| + C = arctg
x
3
+
5
2
ln(x
2 + 9) + C.
Pˇ
r´ıklad 2.1.3. Metodou per partes vypoˇ
ctˇ
ete
Z
f (x) dx funkce
a) f (x) = (6x − 3) e
x
b) f (x) = x cos x
c) f (x) = x
2 ln x
d) f (x) = ln x
e) f (x) = arctg x
f) f (x) = ln(x
2 + 1)
g) f (x) = (x
2 + 1) ex
h) f (x) = (3x
2 − 4) sin x
j) f (x) = (x
2 − 4x + 2) cos x
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
Z
(6x − 3) e
x dx =
u0 = ex
u = ex
v = 6x − 3
v0 = 6
=
= (6x − 3) e
x −
Z
6 e
x dx = (6x − 3) ex − 6 ex + C = (6x − 9) ex + C.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
27
b)
Z
x cos x dx =
u0 = cos x